Численное решение уравнений миграции

Принципиальное решение моделей миграции многокомпонентных растворов состоит из 4х частей:
1 часть – Модельное решение уравнения фильтрации для определения поля скоростей фильтрации;
2 часть – решение уравнения миграции;
3 часть - расчет трансформаций вещества за время ∆t в блоке (равновесное осаждение/растворение, сорбция, ионный обмен. Используются программы термодинамического моделирования (для расчета термодинамических равновесий – Hch)

4 часть – Трансформация геологической среды – определение количества осевшего минерала, изменения пористости; на основании модели пористой среды и на основании представления процессов растворения и осаждения выбирается переход от изменения в пористости геологической среды к изменению в проницаемости.

Для численного решения уравнений миграции используются:

1) Прямые методы конечных разностей (явная и неявная схемы решения)

2) Методы расщепления по процессам (+ метод перемещения частиц, метод блуждающих частиц, метод характеристик)

Практически все методы построены на расщеплении уравнения миграции по процессам. Все вычисления проводятся в три этапа на один и тот же шаг по времени:

1) конвективный перенос

2) дисперсионный перенос

3) преобразования вещества

При этом возможны перестановки этапов и их комбинации.

Касательно программного обеспечения: МТ3DMS моделирует многокомпонентную миграцию, но компоненты не должны взаимодействовать между собой. pH3TD – для миграции взаимодействующих мигрантов (есть в пакете PMWin 8), RT3D – расширение МТ3DMS – для процессов биоразложения, (для учета влияния акцепторов (кислорода, сульфатов)- в присутствии которых реакция происходит быстрее).

//Будет хорошо знать суть одного-2х методов, чтобы выпендриться перед комиссиейJ)) (а так не обязательно)
Методы перемещения частиц (относится к методам расщепления по процессам)

Методы перемещения частиц основаны на решении системы линейных дифференциальных уравнений

Вследствие особенностей организации вычислительного процесса используются методы Рунге-Кутта разных порядков. Наиболее часто применяют методы нулевого, второго и четвертого порядков. Универсальность и точность методов возрастают при увеличении порядка, но вместе с этим возрастает и время счета. Наиболее длительная процедура – определение скорости фильтрации в заданной точке x, y, z.

Метод конечных разностей

Этот метод объединяет первые два шага, а иногда и три, в один и построен на полном конечно-разностном представлении дифференциального уравнения конвективно-дисперсионного переноса с линейными уравнениями преобразований.

Наиболее тонким вопросом является представление члена конвективного переноса, содержащего первую производную по пути. Наилучшие результаты дает производная взятая вверх по потоку (upstream). Существуют две основных схемы решения уравнения: явная и неявная, а также несколько промежуточных явно-неявных. Различия их во временном слое взятия пространственных производных. При явной схеме они берутся на начало шага по времени, а при неявной на конец.

Недостатком является возникновение явления численной дисперсии, не позволяющего точно рассчитать движение фронта вытеснения (при задании в модели дисперсии дисперсивность (параметр) сложится с численной дисперсией). Получается, что происходит решение уравнения микродисперсии с коэффициентом гидродинамической дисперсии линейно зависящим от скорости фильтрации.

М.4. Метод блуждающих частиц

Этот метод наиболее радикально отличается от предыдущего и заключается в перемещении множества частиц, каждая из которых несет долю массы мигрирующего вещества. Движение частиц производится в два шага. Первый шаг – перемещение по линии тока со скоростью течения воды за время Dt. Второй шаг – случайное блуждание частицы за то же время, определяемое коэффициентами продольной и поперечной гидродисперсии. Случайным является направление и длина шага. Блуждание определяется генератором нормально распределенных случайных чисел.

Метод практически лишен численной дисперсии. Кинетические процессы превращения моделируются приращением массы частиц за шаг по времени, а сорбции либо исчезновением частиц (переход в породу) либо уменьшением скорости миграции (эффективная пористость).

Недостатком метода является необходимость расчетов движения большого количества частиц, постоянно зарождающихся в источнике и исчезающих в стоке.

М.5. Метод характеристик

М.5.1. Обычный метод характеристик

Конвективный перенос реализуется методом характеристик, дисперсионный перенос методом конечных разностей с одновременным учетом преобразований вещества, для чего используются значения концентраций, полученные после выполнения первого шага. Классический метод характеристик строится на введении в блок на каждом шаге по времени определенного количества частиц, между которыми поровну распределяется вся масса растворенного в воде вещества.

Метод характеристик считается практически лишенным численной дисперсии, но требует большой памяти и быстродействия компьютера.

М.5.2. Модифицированный метод характеристик

Различие с методом характеристик только в способе вычисления концентраций на первом этапе конвективного переноса. Вместо нескольких используется только одна частица. Метод годится только для плавных изменений концентрации.

Этап дисперсионного рассеяния рассчитывается так же как и в предыдущем случае конечно-разностным решением уравнения диффузии. Скорость счета резко повышается за счет использования для каждого блока только одной частицы.

М.5.3. Гибридный метод характеристик

Метод сочетает две предыдущие модификации метода характеристик. Для области с низкими градиентами концентраций используется модифицированный метод, а для областей с большими градиентами – обычный. Выбор критического градиента проводится до решения и может изменяться для разных задач.

//А вот собственно самое главное!:))

ПРИМЕРЫ:

Миграция раствора, содержащего нитрат натрия и нитрат цезия (грубое приближение жидкого радиоактивного отхода), можно рассматривать как миграцию многокомпонентного раствора при взаимозависимой сорбции (2 мгновенно сорбируемых вещества, а остальные растворенные вещества нейтральны). Таким образом, в растворе содержится 2 катиона, в твёрдой фазе (сорбционная емкость) свободный активный центр, 2 сорбированных катиона. Взаимозависимая сорбция равновесная и подчиняется изотерме Ленгмюра. При такой постановке условий можно определить количество зон различного состава, концентрации компонентов в них и скорости движения передовых фронтов этих зон.

//мне кажется достаточно 1го примера: либо про уран, либо про цезий

Моделирование процесса ионного обмена в потоке подземных вод также является примером моделирования миграции многокомпонентного раствора. Например, при закачке промстоков, содержащим нитрат натрия и радиоактивный цезий (сорбируется на нитрате натрия), в природные минерализованные воды, содержащими хлорид натрия и природный цезий, происходит ионный обмен на радиоактивный цезий. Будет формироваться 3 зоны: вытесняющий раствор, «смесь» растворов, природный раствор. Проблема моделирования миграции такого раствора заключается в определении вида цезия (стабильный или радиоактивный). На полигонах закачки отходов выделяются 2 зоны: высокой концентрации радионуклидов в окрестности нагнетательных скважин и низких концентраций в остальной области, внешняя граница приближенно определяется распространением нитрата натрия. Таким образом, стабильный изотоп будет сохраняться в обменном комплексе плюс происходит дополнительная сорбция радионуклида. В обменном комплексе зоны 1 (там где вытесняющий раствор – промсток) – оба изотопа, (причем природный изотоп в той же концентрации, что и в природном растворе); В обменном комплексе зон 2 и 3 – только природный изотоп, в растворе зоны 1 и 2 – только радионуклид, в зоне 3 – только природный изотоп.

Также, в качестве примера можно привести: растворение вторичного засоления, метасоматическое замещение минералов (соляной кислотой золото), выщелачивание рудного компонента применяется на практике (геотехнический процесс выщелачивания соединений урана серной кислотой). Рядами нагнетательный скважин закачивается серная кислота, а откачивающие скважины выкачивают раствор с соединениями урана. При моделировании процесса выщелачивания делаются следуюшие предположения: 1) до начала процесса вода и все минералы породы в пласте равновесны; 2) кислота расходуется на растворение кальцита, уменьшение концентрации кислоты А0 = повышению концентрации растворенного кальцита, урана в поступающем растворе нет. 3) растворение кальцита приводит к выпадению в осадок гипса, который растворяется кислотой. 4) равновесная концентрация растворенного урана Rm зависит от концентрации кислоты, но не наоборот.

Через некоторое время после начала выщелачивания образуется 5 зон (см. рис.): матрица, гипс, рудный компонент, кальцит, природная зона.

1-вытесняющий раствор, урана нет. Концентрация в растворе: кислоты А0, гипса G0.в породе нет солей.

2- вытесняющий раствор, равновесный с гипсом Gm, остальные концентрации как в 1, в породе гипс, нет кальцита и урана.

3-раствор, равновесный с гипсом и ураном, в растворе: кислота А0, гипс Gм, урана Rm; в породе есть гипс и уран, кальцита нет

4-вытесняющий раствор, равновесный с гипсом, кислота, прореагировав с кальцитом имеет равновесную конц Am, уран выпадает в осадок с конц R0, в породе r0, в породе – кальцит в прир конц q0, гипса нет, так как кислота израсходовалась на растворение кальцита

5-природный раствор, равновесный с содержащимся в породе кальцитом q0и соединениями урана r0; конц в растворе – кислоты А0, растворенного кальцита

Фронт ½ - движется со скоростью полного растворения гипса, заместившего кальцит, фронт 2/3 – полное растворение соединений урана, фронт ¾ - ведущий геохимический барьер – определяется растворением в нем кальцита, замещающегося гипсом и осажденим и осаждением урана до практически прир концентраций в воде вследствие нейтрализации кислоты, фронт 4/5 – скорость миграции воды. Такую задачу мы моделировали в Нсh – «задача формирования метасоматической колонки с рудным компонентом без учета дисперсии и кинетики»

Эта модель может быть еще более усложнена, если рассматривать не равновесный массообмен, а добавить кинетику процессов растворения-осаждения соединений урана

//Это в принципе можно не говорить на экзамене, но могут спросить