Числовые характеристики случайных величин

При решении практических вопросов определения случайных погрешностей, зачастую достаточно указать только числовые характеристики (параметры) распределения случайных величин.

Они в сжатой форме выражают наиболее существенные особенности распределения, значительно облегчаются решение многих вероятностных задач.

Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.

Эти характеристики указывают некоторое среднее ориентировочное значение около которого группируются все возможные значения случайные величины.

Пусть имеются набор случайных величин х_i соответствующей некоторому процессу и их вероятности р_i. Средневзвешенное значение этих величин называют математическим ожиданием которое определяют по формуле.

Так как то (1)

Наглядное представление. Пусть по оси абсцисс расположены материальные точки с координатами х₁, х₂, …, х_n с массами р₁,р₂, …,р_n, причем суммарная масса = 1, то - есть абсцисса центра тяжести.

При уменьшении интервалов до нуля.

Сумма (1) стремится к интегралу. Поэтому математическое ожидание непрерывной случайной величины равна

где f (x) – плотность распределения случайной величины.

Математическое ожидание для упрощения обозначают еще и М_х.

Мода – это ее наиболее вероятное значение

Р_i f (x)

М х М х

Если кривая имеет более одного максимума, то такое распределение называется полимодальным.

Р_i f (x)

х х

Если распределение имеет не максимум, а минимум, то распределение называется антимодальным.

Р_i f (x)

х М х

В общем случае мода и медиана не совпадают, а совпадают только, когда распределение случайной величины – симметрично.

Медиана. Это такое ее значение М_е для которого

т.е. одинаково вероятно, окажется случайная величина меньше или больше М_е.

Геометрическая интерпретация:

S₁ = S₂

Медиана это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.