Lt;P(A)<1

Теоремы сложения, умножения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Теорема 1. (теорема сложения вероятностей)

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B) (3)

Доказательство: Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; – число исходов, благоприятствующих событию А; – число исходов, благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно + . Следовательно, P(A+B)=( + )/n= . Приняв во внимание, что /n=P(A) и /n=P(B), окончательно получим P(A+B)=P(A)+P(B).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P( + +...+ )=P( )+P( )+...+P( )

Теорема 2. (теорема умножения вероятностей)

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 2. Эту теорему можно обобщить на любое конечное число зависимых событий , ,...,

P( , ,..., )=P( )• ( )• ( )... (A)

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности B=P(B).

27) Формулы полной вероятности, формула Байеса переоценки гипотез.

· Формула полной вероятности.

Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий , образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий, A, A,..., . Следовательно,

Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Но (i=1, 2,..., n), поэтому

Эта формула называется формулой полной вероятности. События часто называют «гипотезами».

· формула Байеса переоценки гипотез

Формула, имеющая вид:

где , ,..., — несовместимые события, Общая схема применения формулы вероятности гипотез: если событие В может происходить в различных условиях, относительно которых сделано n гипотез , ,..., с известными до опыта вероятностями P( ), P( ),..., Р( ) и известны условные вероятности P(B/ ), то после опыта, где наступило событие В. Происходит переоценка вероятностей гипотез (в силу чего эту формулу называют формулой вероятности гипотез). Формула Байеса может быть использована для оценки перспективности территорий, оценки палеогеографических реконструкций, направления разведки и т. п.

28) Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Теоремы Лапласа.

Испытания или опыты называют независимыми, если вероятность каждого исхода не зависит от того, какие исходы имели другие опыты, т.е. вероятность каждого исхода остается постоянной от опыта к опыту.

Пусть производится независимых n опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A. Причем вероятность появления события в каждом опыте равна, а вероятность непоявления равна q=1-p. Требуется найти вероятность того, что в n независимых опытах событие A произойдет ровно K раз.

или

Это и есть формула Бернулли.

Замечание. При вычислении факториалов n!=1,2,3,…,n, 1!=1, 0!=1.

Теорема 1. Лапласа (локальная). Если в схеме Бернулли 0<p<1, то вероятность того, что событие A наступит ровно k раз, удовлетворяет при больших n соотношению

где .

Для удобства вводится в рассмотрение функция -- локальная функция Лапласа и с ее помощью утверждение теоремы Лапласа можно записать как

Теорема 2. Лапласа (интегральная).

Вероятность того, что в схеме n независимых испытаний событие наступит от до раз приближенно равна , где

- интегральная функция Лапласа, для которой составлены таблицы. Функция нечетная: Ф(-х)=-Ф(х) и Ф(х 4)=0,5.

Отклонение относительной частоты от вероятности p в n независимых испытаниях равно P( < ) = 2 .

Замечание. Обоснование этих фактов будет рассмотрено в разделе “ Предельные теоремы теории вероятностей”.

29) Случайные величины (СВ). Закон распределения дискретной СВ. Числовые характеристики СВ. Функция распределения, свойства.

Случайной величиной называется числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.

Закон распределения дискретной случайной величины

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Числовые характеристики СВ.

Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако, иногда можно охарактеризовать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, можно указать закон распределения количества осадков выпадающих в данной местности за определенный месяц, но проще и нагляднее указать среднее количество осадков в данном месяце.

Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками. Рассмотрим некоторые из числовых характеристик и их основные свойства.

Математическое ожидание и его свойства.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значение на соответствующие им вероятности.

X			…
P			…

Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то

называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

30) Непрерывные СВ. Функция плотности вероятности, функция распределения вероятности, связь между ними, свойства. Числовые характеристики Законы распределения непрерывной СВ (нормальный, равномерный, показательный).

31) Понятие системы двух случайных величин. Закон распределения двумерной СВ. Числовые характеристики двумерной СВ.

32) Наблюдение двумерной СВ. Коэффициент линейной корреляции. Линия регрессии.

33) Статистическая выборка. Числовые оценки параметров распределения. Гистограмма.

Статистическая выборка — исходный материал для статистического анализа, полученный в результате выбора из генеральной совокупности; множество, содержащее конечное число исследуемых объектов (число объектов в выборке называется её объемом); часто отождествляется с множеством значений характеристик объектов, составляющих выборку; конечное множество наблюдаемых значений случайной величины; последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с общей функцией распределения.

Гистогра́мма (от др.-греч. ἱστός — столб + γράμμα — черта, буква, написание) — способ графического представления табличных данных.

Количественные соотношения некоторого показателя представлены в виде прямоугольников, площади которых пропорциональны. Чаще всего для удобства восприятия ширину прямоугольников берут одинаковую, при этом их высота определяет соотношения отображаемого параметра.

Таким образом, гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки.

34) Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Алгоритм проверки статистических гипотез.