Глава 1. Кинематика

§1.1. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности.

Всякое движение есть изменение состояния физического объекта. Механическим движением называется перемещение тел или частей тела друг относительно друга. Для его описания необходимо выбрать систему отсчета. Она состоит из тела отсчета и способа отсчета времени (неподвижных относительно этого тела «часов»). Система отсчета есть выражение фундаментального свойства природы: движение относительно и происходит в пространстве и во времени. Поскольку пространство и время всегда рассматриваются в конкретной системе отсчета, то пространство и время относительны, как относительно движение.

Преимуществом в физике пользуется инерциальная система отсчета. Она связана со свободным телом. Свободным называется тело, настолько удаленное от всех прочих, что их воздействием на движение данного тела можно пренебречь. Закон природы, отраженный в принципе инерции Галилея (он же является первым законом Ньютона) гласит: в инерциальной системе отсчета свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно. Следовательно, любая система отсчета, покоящаяся или движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной, также является инерциальной. Другими словами, никакими опытами, проводимыми внутри инерциальной системы отсчета, нельзя определить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно, так что понятие абсолютного покоя лишено смысла, и инерциальных систем отсчета бесконечно много. К инерциальным системам отсчета применим еще один универсальный закон природы - принцип относительности. Он гласит: все законы физики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета. Физические законы выражаются математическими формулами, так что принцип относительности формулируется еще так: физические законы инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность означает неизменность вида уравнений при каких-либо преобразованиях, в частности, в любых инерциальных системах отсчета один и тот же закон природы выражает одна и та же формула. Принцип относительности проявляется в совпадении результатов опытов (их воспроизводимости), проведенных разными исследователями в разное время и в разных местах при одинаковых условиях. Следствием этого является накопление знаний и технический прогресс.

Опыт показывает, что инерциальной является система отсчета, образованная Солнцем с неподвижными относительно него часами. Она называется гелиоцентрической. На практике чаще всего движения тел рассматривают относительно земли, и тогда систему отсчета удобно связывать с землей. Такая система называется геоцентрической. Однако эта система неинерциальная, потому что она движется относительно гелиоцентрической системы с ускорением в силу двух причин: Земля движется вокруг Солнца (смена времен года), и Земля вращается вокруг собственной оси (смена времени суток). Центростремительное ускорение Земли при ее вращении вокруг Солнца составляет около 6^.10^-3 м/с², центростремительное ускорение при суточном вращении Земли около 3^.10^-2 м/с². В задачах, где требуемая точность позволяет пренебречь этими численными значениями по сравнению с численным значением ускорения свободного падения g = 9,8 м/с², Землю можно считать инерциальной системой отсчета. Доказательством неинерциальности Земли является маятник Фуко. Его плоскость качания, сохраняя неименную ориентацию относительно Солнца, поворачивается относительно Земли за сутки на 360⁰.

§1.2. Поступательное и вращательное движения

Для теоретического описания физических объектов используют их модели. Две простейшие модели механики - материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальной точкой (м.т.) называют тело, размеры которого, форма, внутренняя структура и протекающие в нем процессы не влияют на его движение в данной задаче. Модель абсолютно твердого тела (а.т.т.) считают системой материальных точек, взаимное расположение которых не изменяется. Эта модель учитывает размеры и форму тела, но пренебрегает их изменением при движении, т.е. деформациями.

Движение тела, при котором скорости и, соответственно, ускорения всех его точки одинаковы в любой момент времени, называется поступательным. При вращательном движениитраектории всех точек тела – окружности, их плоскости совпадают или параллельны друг другу, а центры лежат на одной прямой (ее называют ось вращения). Любое движение а.т.т. можно представить как сумму поступательного и вращательного движений.

Кинематика занимается описанием механического движения. Ее задача – указать положение тела в пространстве, а также его скорость и ускорение в любой момент времени. Эти три кинематические характеристики взаимосвязаны, так что знание одной из них как функции времени позволяет найти две остальные.

§1.3. Закон (кинематическое уравнение) движения

Положение тела в пространстве задает закон движения. Он может быть представлен графиком, таблицей, уравнением (его называют кинематическим уравнением движения). Минимальное число параметров (координат), задающих положение тела, называется его числом степеней свободы – i. При движение в пространстве м.т. или при поступательном движении а.т.т. число степеней свободы i = 3. Такое движение называют трехмерным. Движение по известной поверхности имеет две степени свободы и называется двухмерным, движение по известной траектории называется одномерным.

Положение материальной точки в пространстве указывает радиус - вектор , проведенный из начала отсчета в точку, где находится тело (рис. 1). При движении этот вектор изменяется со временем t, так что закон движения в векторной форме выражает уравнение:

(1.3.1)[1]

В декартовой системе координат этот же закон движения в координатной форме выражают три скалярных уравнения:

x=x(t)

y=y(t) (1.3.2)

z=z(t)

Координатная форма есть выражение принципа независимости движения: пространственное движение м.т. можно представить как сумму трех прямолинейных движений вдоль осей координат.

Линия, по которой движется тело, называется траекторией. Закон движения задает уравнение траектории: при движении тела конец радиуса вектора рисует траекторию. Закон движения в координатной форме (1.3.2) задает это уравнение в параметрической форме, где параметром является время t. Подчеркнем, что понятие траектории применимо только в классической физике, для квантовых частиц оно теряет смысл. При одномерном движении закон движения превращается в одно скалярное уравнение:

s = s(t) (1.3.3)

В приведенном уравнении s – координата точки траектории.

Рассмотрим вращательное движение а.т.т. (рис.2). Ось вращения неподвижна, на рисунке скобочки изображают подшипники, в которых ось закреплена. Указаны траектории движения двух точек тела. Радиусы и плоскости окружностей, описываемых этими точками, различны, а вот центральные углы, на которые опираются дуги, описанные разными точками при вращении тела, одинаковы. Вращающееся тело имеет всего одну степень свободы (i =1), и его положение в пространстве задает одна координата j - угол поворота тела относительно некоторого положения, выбранного за начало отсчета. Закон вращательного движения выражает уравнение

j = j (t) (1.3.4)

§1.4. Скорость

Следующая кинематическая характеристика движения – скорость – выражает быстроту изменения положения тела в пространстве. Изменение положения в пространстве материальной точки характеризуют вектором перемещения:

(1.4.1)

Путь Ds – это расстояние, пройденное телом по траектории, по определению положительная величина (рис.3). При движении по прямолинейной траектории в одном направлении модуль вектора веремещения и пройденный путь равны друг другу: ½ ½= Ds. При движении по криволинейной траектории, а также при изменении направления движения по траектории любой формы½ ½< Ds. Вектор средней скорости за промежуток времени D t = t₂ – t₁

< >= (1.4.2)

Направление вектора средней скорости совпадает с направдением вектора перемещения. Из рис.3 видно, что если рассматриваемый участок пути разделить на два одинаковых, то на каждом из них векторы средних скоростей будут различаться, так что < > - довольно грубая характеристика движения. Для получения более точной характеристики надо рассматривать маленькие участки траектории, которым соответствуют маленькие промежутки времени. Предел выражения (1.4.2) при стремлении промежутка времени D t к нулю дает мгновенную скорость. В математике такую операцию называют нахождением производной, так что по определению вектор мгновенной скорости

(1.4.3)

Направлен по касательной к траектории, так что ему можно придать вид:

(1.4.4)

где υ – модуль скорости, - касательный орт, т.е. единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

На практике зачастую интерес представляет только численное значение скорости. Его легко найти, зная закон движения в скалярной форме (1.3.3):

υ = (1.4.5)

При движении тела по траектории в положительном направлении скорость будет выражаться положительным числом, и, соответственно, отрицательным при движении в отрицательном направлении.

Когда закон движения задан в координатной форме (1.3.2), то проекции вектора скорости на координатные оси есть первые производные по времени от соответствующих координат:

υ _x= , υ _y= , υ _z= , (1.4.6)

соответственно, модуль вектора скорости:

υ= (1.4.7)

При вращении тела путь Dj равен угловому перемещению. Его измеряют разностью угловых координат в конечный t₂ и начальный t₁ моменты времени: Dj = j₂ - j₁. Малые угловые перемещения (Dj <<2p) можно считать векторами[2], будем их обозначать . Этот вектор направлен вдоль оси в соответствии с правилом правого винта, т.е. указывает направление вращения тела, и не имеет фиксированной точки закрепления. Подобные векторы называют аксиальным (осевым) в отличие от полярных векторов, например, или ∆ . Быстроту вращения характеризует угловая скорость w. Средняя угловая скорость

<w>=Dj / Dt (1.4.8)

Мгновенная угловая скорость

, (1.4.9)

§1.5. Ускорение

Третья кинематическая характеристика - ускорение - характеризует быстроту изменения скорости. Рассмотрим понятие ускорения для материальной точки. На рис. 4 показаны два положения на траектории движущейся частицы, соответствующие им скорости и , и приращение скорости . Вектор среднего ускорения

< > = (1.5.1)

Мгновенное ускорение:

(1.5.2)

При прямолинейном движении вектор ускорения совпадает с вектором скорости при ускоренном движении и противоположен ему при замедленном. При движении по криволинейной траектории (см. рис. 4) вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости внутрь траектории. Всякий вектор имеет две характеристики – модуль и направление, они могут изменяться независимо друг от друга. При криволинейном движении скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, поэтому удобно рассматривать две составляющие вектора ускорения. Используя формулы (1.4.3) и (1.4.4), получаем:

(1.5.3)

Вектор ускорения состоит из двух слагаемых – тангенциального и нормального ускорений. Первая составляющая – тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости по величине. При убыстрении движения и направлены в одну сторону, при замедлении они противоположны. Величина тангенциального ускорения

a_t= (1.5.4)

Вторая составляющая – нормальное ускорение связано с изменением направления скорости. Это хорошо известное из школьного курса физики центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности. Оно направлено по радиусу к центру окружности и равно:

(1.5.5)

R – радиус кривизны траектории, т.е. радиус соприкасающейся окружности, дугой которой можно заменить бесконечно малый участок кривой в окрестности данной точки. Задав в этой точке орт нормали , направленный по радиусу окружности в ее центр, получаем:

(1.5.6)

На рис 5 показан небольшой участок траектории, где в данный момент времени находится движущаяся частица. Орты касательный и нормали взаимно перпендикулярны, соответственно, перпендикулярны друг другу тангенциальное и нормальное ускорения, и полное ускорение равно:

(1.5.7)

Если закон движения задан в координатной форме, то модуль ускорения можно вычислить аналогично модулю скорости (см. формулу 1.4.7) так:

= (1.5.8)

Проекции вектора ускорения на оси координат соответственно:

, , (1.5.9)

При вращении тела быстроту изменения его угловой скорости указывает угловое ускорение e. Его среднее значение

< e > = Dw / Dt (1.5.9)

Мгновенное угловое ускорение

, (1.5.10)

и - аксиальные (осевые) векторы. Направление вектора угловой скорости определяет правило правого винта. При ускоренном вращении векторы и направлены по оси вращения в одну сторону, при замедленном – в противоположные стороны. В СИ угловая координата измеряется в радианах (рад), угловая скорость в рад/с, угловое ускорение в рад/с².

§1.6. Равномерное и равнопеременное движения.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели, как, зная закон движения, найти скорость и ускорение в любой момент времени. В этом параграфе рассмотрим решение обратной задачи кинематики: найти скорость как функцию времени и получить закон движения, зная зависимость ускорения от времени. Проделаем это на примерах равномерного и равнопеременного движений материальной точки. Убедимся в том, что известные из школы формулы можно легко вывести, а не запоминать.

Равномерным называется движение, когда скорость не изменяется по величине, следовательно, тангенциальное ускорение a_t =0. Учитывая, что a_t= , получаем: , т.е. υ= = const. Находим первообразную (интегрируем) и получаем формулу равномерного движения:

s=s_o+υt (1.6.1)

Здесь s_o – координата тела на траектории в начальный момент времени t =0. Если начало отсчета совместить с начальным положением тела, то s_o= 0, и s = υt.

Равнопеременным называется движение с постоянным ускорением = const. Проинтегрируем формулы (1.5.2), и затем, используя полученный результат, проинтегрируем формулу (1.4.3):

(1.6.2)

(1.6.3)

Аналогичным образом можно получить формулы равномерного и равнопеременного вращения.

§ 1.7. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками.

На рис. 6 показана траектория некоторой точки вращающегося тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии R, ее линейная скорость и угловая скорость . За промежуток времени Dt тело повернулось на угол Dj, а точка прошла путь Ds. Очевидно, Ds=RDj. Исходя из определений линейной и угловой скоростей (формулы 1.2.9 и 1.2.13) получаем:

υ=wR (1.7.1)

Используя формулы (1.2.17), (1.2.18) и (1.4.1), получаем:

a_t = e R (1.7.2)

a_n=w ²R (1.7.3)

Обратите внимание, что у точек вращающегося тела нормальное ускорение всегда бывает, а тангенциальное только при неравномерном вращении.

§ 1.8. Краткие итоги главы 1.

Проследим аналогию кинематических характеристик и формул поступательного и вращательного движений.

Кинематическая характеристика	Вид движения
	Поступательное	Вращательное
Координата	S	φ
Путь	Δs	Δ φ
Скорость средняя	< υ > =Ds / Dt	< υ > =Ds / Dt
Скорость мгновенная
Ускорение среднее	< a >= Dυ / Dt	<e>=Dw / Dt
Ускорение мгновенное	at=
	Равномерное движение
	at= 0 υ= const s=s0+vt	e=0 w = const j =j0+w t
	Равнопеременное движение
	at= const υ=υ0+at t s=s0+υ0 t+at2/ 2	e=const e=const j =j0+w0 t+e t2 /2
Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками
Путь	s=φR
Скорость	υ=wR
Ускорение	at = e R an=w 2R

§ 1.9. Примеры

1.

Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано на графике.

Угловое перемещение (в радианах) за 10 с движения равно …(2, 4, 6, 8)

Решение. Угловое перемещение (путь) на графике зависимости скорости от времени равен площади под графиком. В первые 6 с движения он равен площади треугольника с основанием 6 с и высотой 4 рад/с, а именно 12 рад. В следующие 4 с знак скорости изменился на противоположный, что указывает на изменение направления вращения, и пройденный за это время путь составил 4 рад. Ответ: 8 рад

2.

Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса с угловой скоростью, модуль которой изменяется с течением времени по закону . Отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 секунды равно …(8, 4, 1,2)

Решение. Согласно формуле (1.4.8) a_n=w ²R= 2^.2².2=16 м/с². Тангенциальное ускорение вычислим по формулам (1.2.24) и (1.4.2): ε= 4 t =8 рад/с², a_t= 16 м/с². Ответ: 1

3.

Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении … (1,2,3,4)
Решение. Точка соприкосновения диска с плоскостью, по которой он катится, является мгновенным центром вращения тела. В рассматриваемый момент времени она неподвижна, а остальные точки тела движутся по окружностям. Их радиусы равны расстояниям от мгновенного центра вращения. Линейная скорость точки, движущейся по окружности, направлена перпендикулярно радиусу (по касательной к траектории). Ответ: 3.

[1] Номер формулы состоит из трех частей: первые две – номер параграфа, третья – порядковый номер формулы в этом параграфе. Номер параграфа содержит два числа: первое – номер главы, второе – порядковый номер параграфа главы.

[2] Только для таких малых углов можно применять векторные операции, например, векторное сложение по правилу параллелограмма. Для больших углов это правило не действует.