Возьмём интеграл

. (6.85)

(6.86)

. (6.87)

Тогда

(6.88)

. (6.89)

Подставляя в полученный результат ²к² согласно (6.87) и учитывая, что площадь прямоугольного треугольника равна

,

в окончательном виде будем иметь

. (6.90)

Остальные интегралы (6.81) и (6.82) вычисляются аналогично и имеют те же значения.

Таким образом, минимум функционала (6.68) может быть записан в виде следующей системы уравнений

. (6.91)

Указанная система уравнений записывается для всех элементов исследуемой области, а её решение с учётом известных значений векторного потенциала на границе области позволяет рассчитать искомые значения векторного потенциала во всех узлах исследуемой области.

Указанная система алгебраических уравнений характеризует поэлементное объединение, процедура которого сводится к вычислению матриц для каждого элемента.

Помимо поэлементного объединения возможно объединение по узлам, когда уравнение записывается для каждого узла исследуемой области. Система алгебраических уравнений в этом случае может быть получена исходя из следующих соображений.

Каждое из уравнений системы (6.91) получено путём минимизации энергетического функционала (6.68). При этом для получения минимума производилось дифференцирование функционала по значениям векторного потенциала в узлах треугольника, и полученные производные приравнивались к нулю. В исследуемой области каждый узел может принадлежать одновременно нескольким элементам. Система алгебраических уравнений, записанная для каждого элемента этой группы, будет содержать, естественно, производные по значению векторного потенциала рассматриваемого узла. В этом случае можно, просуммировав уравнения рассматриваемого узла для всех элементов, включающих данный узел, получим для него уравнение, которое содержит значения векторного потенциала в соседних узлах.

Для примера рассмотрим простейшую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области с нулевыми граничными условиями. Разобьём рассматриваемую область на прямоугольные ячейки, со сторонами величиной и вершинами, совпадающими с узлами сетки. Каждую ячейку области разобьём диагональю на два прямоугольных треугольника с катетами равными и . В результате область оказывается разбитой на конечное число прямоугольных треугольников - конечных элементов.

Рассмотрим узел 1 этой области, являющейся вершиной элементарных треугольников, обозначенных цифрами 1-2-3-4-5-6.

Рис.27. К выводу уравнения вектор-

ного потенциала в узле 1.

Векторный потенциал для вершин каждого из прямоугольных треугольников описывается системой уравнений (6.91). Для узла 1 имеем

, (6.92)

где - номер треугольника с вершиной в узле 1; F - функционал, определяемый выражением (6.68).

Производная по А ₁ в каждом элементе соответствует первой строке системы (6.91). Определим для первого треугольника (рис. 27). Обозначим его вершины, принимая во внимание, что обход производится против часовой стрелки: l=1; m=3; n=2. Тогда в соответствии с (6.62), (6.63)

(6.93)

(6.94)

Приведём уравнения системы (6.91) к общему знаменателю и определим правые части уравнений

. (6.95)

Первое уравнение из этих уравнений

. (6.96)

Подставляя в это уравнение значения и выполняя преобразования, получим

. (6.97)

Аналогичные операции проделаем для всех треугольников с вершиной в узле 1. Полученные данные сведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Коэффициенты конечных элементов для узла 1

№ треугольника	l	m	n	bl	bm	bn	cl	cm	cn
					-hy	hy	hx		- hx
				hy	- hy			hx	- hx
				hy		- hy	- hx	hx
					hy	- hy	- hx		hx
				- hy	hy			- hx	hx
				- hy		hy	hx	- hx

В результате получим для всех элементов следующие уравнения:

; (6.98)

; (6.99)

; (6.100)

; (6.101)

. (6.102)

Суммируя левые и правые части этих уравнений, получим

.

(6.103)

Учитывая равенство нулю производных в левой части уравнения, и выполняя элементарные преобразования, получим уравнение

, (6.104)

совпадающее с уравнением, полученным конечно-разностным методом.

В качестве примера рассмотрим решение уравнения Лапласа, решаемое методом конечных элементов в [35]

(6.105)

в прямоугольной области [0,2], [0,2 ]с краевыми условиями:

; ; .

Рассматриваемая область разбита на 16 треугольников с 15 узлами (рис.28).

Рис. 28. Триангуляция исследуемой области [0:2,0:2]

Система алгебраических уравнений, соответствующая краевой задаче (6.105), получена в [35], записана в матричном виде (6.107), а её решение представлено ниже

, , - краевые условия.

, , ,

, , ,

, , ,

, , - краевые условия.

Покажем, что каждое уравнение из рассматриваемой системы соответствует конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов решаемого уравнения Лапласа.

Рассмотрим, например, уравнение для узла № 8, предварительно разделив его коэффициенты и правую часть на два

. (6.106)

(6.107)

Уравнение Лапласа в конечно-разностном виде

.

Тогда для узла №8 при и получим

Выполнив элементарные преобразования, получим уравнение (6.106).

В ряде случаев энергетический функционал не известен или его нахождение связано со значительными трудностями. В этом случае система алгебраических уравнений может быть получена непосредственно, при интегрировании уравнений Максвелла. Рассмотрим процедуру получения системы алгебраических уравнений для этого случая.

Согласно определению ротор любого вектора может быть выражен через циркуляцию следующим образом:

, при . (6.108)

Введём векторный потенциал и запишем уравнение Максвелла в виде

. (6.109)

Интегрируя полученное выражение по произвольной площади и используя определение ротора, этому выражению можно придать вид

. (6.110)

Таким образом, решение дифференциального уравнения (6.109) можно свести к системе уравнений (6.110), записываемых для всех участков площади исследуемой области.

Положим, что исследуемая область разбита на определённое число элементарных площадок в виде треугольников (триангулирована), в каждом из которых векторный потенциал является линейной функцией пространственных координат и записывается в виде:

(6.111)

где коэффициенты

; . (6.112)

В этом выражении - координаты вершин элементарного треугольника, а - значения векторного потенциала в этих точках.

Если составляющая векторного потенциала описывается уравнением (6.66), то составляющие магнитной индукции в данном треугольнике будут записываться как

(6.113)

. (6.114)

Для прямоугольного треугольника, изображённого на рис. 29, с координатами будем иметь:

.

3

Рис.29. К выводу уравнения составляющих

магнитной индукции

1 2

. (6.115)

; (6.116)

, (6.117)

т.е. записываются в том же виде, что и при конечно-разностной аппроксимации.

Линейный интеграл может быть записан в виде суммы двух интегралов

. (6.118)

Интегрирование производится по сторонам треугольника, уравнения которых представляются в виде уравнений прямых линий. Для стороны , например,

(6.119)

или в параметрическом виде

. (6.120)

Отсюда

; . (6.121)

Для точки с координатами величина , а для точки с координатами - . В этом случае интеграл по стороне треугольника 1-2 равен

. (6.122)

Подставляя в полученное выражение и по (6.113), (6.114) и выполняя интегрирование, будем иметь

. (6.123)

Аналогично

. (6.124)

. (6.125)

Рассмотрим изложенный выше подход для решения краевой задачи (6.105), считая исследуемую область триангулированной (рис. 27).

Определим коэффициенты и для всех треугольников этой области, используя выражения (6.112).

Для треугольника №1, например:

; .

(6.126)

Обозначая значения искомой функции в узлах соответствующими индексами, выразим коэффициенты уравнения (6.111) через значения функции в узлах и их координаты. Полученные данные для всех треугольников сведены в таблицу 6.2.

Таблица 6.2

Коэффициенты уравнения (6.111) для

краевой задачи (6.105)

Номер треугольника	Коэффициент К1	Коэффициент К2
	hy(u4 – u5)/S	hx(u4 – u1)/S
	hy(u1 – u2)/S	hx(u5 – u2)/S
	hy(u5 – u6)/S	hx(u5 – u2)/S
	hy(u2 – u3)/S	hx(u6 – u3)/S
	hy(u7 – u8)/S	hx(u7 – u4)/S
	hy(u4 – u5)/S	hx(u8 – u5)/S
	hy(u8 – u9)/S	hx(u8 – u51)/S
	hy(u5 – u6)/S	hx(u9 – u6)/S
	hy(u10 – u11)/S	hx(u10 – u7)/S
	hy(u7 – u8)/S	hx(u11 – u8)/S
	hy(u11 – u12)/S	hx(u11 – u8)/S
	hy(u8 – u9)/S	hx(u12 – u9)/S
	hy(u13 – u14)/S	hx(u13 – u10)/S
	hy(u10 – u11)/S	hx(u14 – u11)/S
	hy(u14 – u15)/S	hx(u14 – u11)/S
	hy(u11 – u12)/S	hx(u15 – u12)/S

Выполним интегрирование по поверхности треугольников, окружающих узлы исследуемой области. Учитывая, что сумма интегралов вдоль смежных сторон треугольников равна нулю, сумма интегралов будет равна сумме интегралов вдоль наружных сторон многоугольника, окружающих рассматриваемый узел. Например, для узла №4 (рис.27)

. (6.127)

В указанном выражении для упрощения записи опущены однотипные выражения под знаками интегралов.

Согласно краевым условиям на левой границе исследуемой области

; . (6.128)

Оставшиеся интегралы:

(6.129)

Аналогично

; (6.130)

. (6.131)

С учётом того, что h_x=1,0, h_y=0,5, S= h_x h_y=0,5, будем иметь

(6.132)

Выполняя интегрирование по поверхности треугольников, окружающих узлы 4 ¸12, принимая во внимание заданные граничные условия, в окончательном виде получим систему алгебраических уравнений, записываемую в матричном виде

(6.133)

Полученная система алгебраических уравнений эквивалентна системе (6.106), если учесть что значения искомой функции в узлах 1,2,3,13,14,15 (рис.27) известны (краевые условия). Следовательно, система уравнений может быть упрощена: число неизвестных и уравнений может быть уменьшено до 9, а заданные краевые условия (Дирихле) учтены в правой части полученных уравнений.

Решение алгебраической системы уравнений (6.133)

; ; ;

; ; ;

; ;

с учётом заданных условий Дирихле на нижней и верхней границе области соответствует [35].