Общие сведения. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицей вещественных коэффициентов и вектором свободных членов

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицей вещественных коэффициентов и вектором свободных членов относительно неизвестного вектора записывается в координатной форме следующим образом:

, (4.1)

или (сокращенный вид координатной формы), или в векторной форме: .

Каждое уравнение описывает прямую (n = 2), плоскость (n = 3), гиперплоскость (n ³ 4) в вещественном пространстве, поэтому решить систему – значит найти точку х ^* их пересечения в этом пространстве.

Будем предполагать, что определитель матрицы А отличен от нуля:

,

так что решение существует и единственно.

Методы численного решения СЛАУ делятся на две группы: прямые (точные) и итерационные (приближенные).

В прямых методах решение находится за конечное число арифметических операций (метод Крамера, метод исключений Гаусса). Точными их, конечно, можно назвать, если отвлечься от погрешностей округления (вычислительных погрешностей).

Итерационные методы – это методы последовательного приближения. Решение СЛАУ находится как предел при k ®¥ последовательных приближений x ^{( k )}, где k – номер итерации. Как правило, за конечное число итераций этот предел не достигается. Обычно задается малое число e, и вычисления проводятся до тех пор, пока не выполнится оценка

.

Качество разных итерационных процессов сравнивается по необходимому числу итераций k (e).