Краевые задачи

На практике приходится часто решать задачи, когда условия задаются при двух значениях независимой переменной (на концах рассматриваемого отрезка). Такие задачи, называемые краевыми, получаются при решении уравнений высших порядков или систем уравнений.

Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка

. (2.39)

Краевая задача состоит в отыскании решения уравнения на отрезке , удовлетворяющего на концах отрезка условиям

Граничные условия могут быть заданы не только в частном виде, но и в более общем виде:

(2.40)

где и , а - известные функции непрерывные на отрезке .

Разобьем отрезок [ a, b ] на n частей с постоянным шагом с помощью узлов . Аппроксимируем первую и вторую производную конечно-разностными соотношениями:

(2.41)

При этом значения искомой функции в узлах приближенно заменяем соответствующими значениями сеточной функции . Подставляя (2.41) в исходное уравнение, получаем систему разностных уравнений

(2.42)

Обозначим через соответственно значения . После несложных преобразований приведем последнее равенство к виду

(2.43)

где

, , .

Получилась система линейных уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных значений сеточной функции в узлах.

Входящие в данную систему (при ) и (при ) берутся из граничных условий:

Из этих соотношений легко находятся значения .

Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (2.39). Ее матрица является трехдиагональной. Система линейных алгебраических уравнений (2.43) с трехдиагональной матрицей может быть решена методом прогонки.

Общая схема по методу прогонки следующая (рис. 2.15):

1) по уравнениям (2.44) и (2.45) определяем значения прогоночных коэффициентов:

; ; (2.44)

; ; . (2.45)

2) из уравнения (2.46) находим :

. (2.46)

3) по уравнениям (2.47) находят :

, где . (2.47)

Ввод n, h, a 0, a 1,

b 0, b 1, A, B

i = 0, …, n

x (i) = h * i

c (0) = a 1/(h * a 0 - a 1)

d (0) = A*h / a 1

i = 1, …, n -1

q (i); p (i); f (i)

m (i) = (h ^2* q (i)-2)/(1 + h /2* p (i))

k (i) = (1- h /2* p (i))/(1 + h /2* p (i))

F (i) = f (i)/(1 + h /2* p (i))

i = 1, …, n - 1

c (i) = 1/(m (i) - k (i)* c (i - 1)

d (i) = h ^2* F (i) - k (i)* c (i - 1)* d (i - 1)

y (n) = (B * h + b 1* c (n - 1)* d (n - 1))/(b 0* h + b 1*(c (n - 1) + 1))

i = n -1, …, 0

y (i) = c (i)*(d (i) - y (i + 1))

Печать

Рис. 2.15. Блок-схема решения краевой задачи методом прогонки

Пример 2.13. Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения , с краевыми условиями и Шаг . Результаты решения представлены в табл. 2.9.

Таблица 2.9

i
	2,00	-	-	-	-1,02564	0,025000	2,2490
	2,05	-1,90308	0,902497	0,002378	-1,02308	0,095519	2,2178
	2,10	-1,90080	0,900238	0,002375	-1,02063	0,025878	2.1933
	2,15	-1,89854	0,897983	0,002372	-1,01830	0,026090	2,1748
	2,20	-1,89627	0,895734	0,002370	-1,01611	0,026167	2,1618
	2,25	-1,89402	0,893491	0,002367	-1,01406	0,026123	2,1537
	2,30	-	-	-	-	-	2,1500

В данной задаче . Узловые точки имеют абсциссы . Коэффициенты .