Решение. 1. Определим число «лишних» связей или степень статической неопределимости балки С

1. Определим число «лишних» связей или степень статической неопределимости балки С.

Степень статической неопределимости неразрезных балок рассчитываем по формуле:

C = E – 3,

где E – число внешних связей.

Для заданной балки E = 4 (две связи на опоре А и по одной на опорах В и С). Тогда С = 4 – 3 = 1, т. е. заданная балка один раз статически неопределима.

2. Выбираем основную систему.

Для ее построения необходимо отбросить одну «лишнюю» связь, т. к. С = 1.

Этой связью может быть, например, промежуточная опора B,которая отбрасывается целиком (рис. 23, б).Но предпочтительным будет вариант с установкой (врезкой) шарнира над опорой B (рисунок 23, в). В этом случае убирается связь, которая препятствовала повороту правой части балки на опоре, относительно левой. Благодаря этому шарниру балка «распадается» на две, с более простой схемой нагружения.

Преимущество второго варианта заключается в упрощении расчетов при построении и перемножении эпюр изгибающих моментов, т. к. каждый «новый» пролет балки в этом случае можно рассматривать как отдельную шарнирно закрепленную балку с минимальным числом участков для перемножения.

3. Показываем эквивалентную систему.

Прикладываем к основной системе заданные нагрузки, а действие отброшенной связи заменяем ее реакцией. Поскольку удаленная нами связь в балке передавала изгибающий момент от ее правой части к левой, в двух смежных сечениях над опорой B прикладываем этот момент Х₁. Очевидно, что для правой и левой частей балки направление момента Х₁ противоположное.

4. Составляем каноническое уравнение метода сил.

Каноническое уравнение, выражающее неразрывность балки или условие равенства нулю суммы углов поворота двух смежных поперечных сечений над опорой B, записываем в виде:

d₁₁ × X ₁ + D_{1 F} = 0,

где d₁₁ – суммарный угол поворота смежных сечений балки над опорой B под действием приложенного к ним единичного момента ; D_{1 F} – суммарный угол поворота смежных сечений балки над опорой B под действием заданных нагрузок.

5. Строим единичную и грузовую эпюры изгибающих моментов.

Разделяем основную систему по опоре B на две шарнирно закрепленные балки AB ¢ и B ¢¢ D. Прикладываем к этим балкам в сечениях B ¢ и B ¢¢ единичный изгибающий момент (рис. 23, д) и, используя метод сечений и правила знаков для изгибающих моментов, строим единичную эпюру (рис. 23, е).

Затем прикладываем к балкам AB ¢ и B ¢¢ D заданные нагрузки (рис. 23, ж), определяем реакции опор и строим грузовую эпюру M_F (рис. 23, з).

Примечание. Методика построения эпюр изгибающих моментов для балок подробно рассмотрена в примерах 2.2. и 2.3.

6. Рассчитываем единичное и грузовое угловые перемещения, используя универсальный метод определения перемещений. Для вычисления интеграла Мора будем использовать способ перемножения эпюр, предложенный Верещагиным.

Для определения единичного перемещения d₁₁ умножаем единичную эпюру на саму себя:

Расчеты выполняем в табличной форме (таблица 11).

Таблица 11

Расчет единичного перемещения d₁₁

№ п/п	, м		+/–	, м
			+
			+

Таким образом,

Для определения грузового перемещения D_{1 F} умножаем грузовую эпюру M_F на единичную :

Перед перемножением грузовую эпюру разделяем на простейшие фигуры. В результате на участке AB ¢ получим треугольник и параболический сегмент, а на участке B ¢¢ C эпюру представим в виде двух треугольников с основаниями, равными длине участка.

Таблица 12

Расчет грузового перемещения D_{1 F}

№ п/п	w i, кНм2		+/–	, кНм2
			+
			+
			–
			+

Значит .

7. Определяем значение изгибающего момента X ₁.

Подставляем значения d₁₁ и D_{1 F} в каноническое уравнение:

Откуда

Знак «–» указывает, что направление момента X ₁ выбрано неверно. Поэтому в дальнейших расчетах изменяем его направление на противоположное.

8. Строим окончательные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Прикладываем к балкам AB ¢ и B ¢¢ D заданные нагрузки, изгибающий момент X ₁ (рис. 23, и), определяем реакции опор каждой балки и строим эпюры поперечных сил Q (рис. 23, к) и изгибающих моментов M (рис. 23, л).

Суммарная реакция опоры B будет равна:

9. Выполняем деформационную проверку решения.

Условием правильности решения является отсутствие взаимного перемещения смежных сечений эквивалентной системы над опорой B, т. е. суммарный угол поворота этих сечений q _B должен равняться нулю.

Для определения q _B перемножим окончательную эпюру изгибающих моментов M (рис. 23, л) на единичную эпюру (рис. 23, м) по способу Верещагина (табл. 13):

Определяем относительную погрешность β расчета q _B по формуле:

где A – абсолютная погрешность (); B – сумма положительных значений ; C – сумма отрицательных значений .

Таблица 13