Методы граничных элементов

Рассмотренные выше численные методы решения задач математической физики основаны на аппроксимационных представлениях функции внутри расчетной области. Эти методы обладают высокой эффективностью и широко применяются при решении задач моделирования в технике. Начиная с 70-х годов ХХ века, интенсивно развивается и другая группа методов, основанная на применении аппроксимации на границах расчетной области. После выполнения аппроксимации расчет поведения искомой функции внутри расчетной области осуществляется по аналитическим соотношениям. Эта группа методов носит название методов граничных элементов [Громадка, Крауч]. Иногда эти методы называются панельными [ЧислВирц], методами потенциала [Джеффрис, Рябенький, БелоцСНишт]. Методы граничных элементов успешно применяются при решении различных задач математической физики – задач гидравлики и дозвуковой газовой динамики, диффузии и теплопроводности, задач о напряженно-деформированном состоянии твердого тела и др. Главной особенностью задач, при решении которых возможно применение методов граничных элементов, является существование потенциалов (искомая функция должна быть потенциальной). Другой особенностью метода, которое особенно важно в случае применения комплексного метода граничных элементов, это возможность решения задач, сформулированных в двухмерной пространственной постановке.

Рассмотрим частные случаи задач, решаемых методом граничных элементов.

1. Безвихревые течения идеальной жидкости

Рассмотрим уравнения Коши-Римана [ЛаврентьевПроблемы], записанные в Декартовой системе координат xy для функции тока и потенциала

,

. (8.171)

Уравнения Коши-Римана справедливы для безвихревого течения несжимаемой жидкости [Валландер, Бэтчелор], и по известному значению потенциала легко устанавливаются компоненты вектора скорости

.

Уравнения (8.171) могут быть преобразованы к виду уравнений Лапласа

, (8.172)

. (8.173)

Вид уравнений для функции тока и потенциала позволяет утверждать, что эквипотенциальные линии ортогональны линиям тока. Это позволяет ввести комплексную функцию , зависящую от комплексной переменной и имеющую вид

. (8.174)

Пусть функция может быть представлена в аналитическом виде в некоторой односвязной области D с границей Г, а точка лежит внутри области D (рисунок 8.37). Тогда справедлива интегральная формула Коши, записываемая в виде

. (8.175)

Формула (8.175) положена в основу комплексного метода интегральных соотношений [Громадка]. Если известно значение на границе расчетной области Г, то формула (8.175) позволяет вычислить значение функции в любой точке , лежащей внутри области D. В частности, пусть это полином степени m

,

в котором коэффициенты - комплексные числа (), . - действительные коэффициенты. В этом случае справедливо

.

Точка была взята произвольно, поэтому справедливо более общее выражение

. (8.176)

Для практических приложений важной представляется и следующая теорема о производных функции

. (8.177)

Во всех рассмотренных выше интегралах по контуру Г обход контура при интегрировании осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки).

2. Течение в пористых средах

Течение в пористых средах подчиняется закону Дарси, который утверждает, что скорость потока жидкости W в пористой среде вдоль направления dl прямо-пропорциональна перепаду давления (напору) , проницаемости среды k, удельному весу жидкости в среде , площади поперечного сечения потока F и обратно-пропорциональна вязкости среды

.

При справедливости закона Дарси для описания течения жидкости в пористой среде можно использовать потенциал

Здесь p – гидростатическое давление, z – расстояние по вертикали от некоторого нулевого уровня.

Потенциал (полная энергия напора) удовлетворяет уравнению Лапласа - . Для рассматриваемого течения можно ввести в рассмотрение функцию , характеризующую линии тока частиц жидкости. Для функции тока справедливо уравнение Пуассона - .

Далее приведение задачи к виду, решаемому методом комплексных граничных условий, выполняется аналогично вышеприведенной задаче о безвихревом течении жидкости (уравнение 8.172, 8.173).

3. Диффузия в растворе жидкости

В соответствии с законом диффузии Фика поток массы (примеси) растворенного вещества за единицу времени через единицу площади поверхности пропорционален градиенту концентрации C растворенного вещества в этом направлении - . Здесь D – коэффициент диффузии. С учетом соотношения для потока массы уравнение неразрывности записывается в виде

.

Для установившегося течения жидкости справедливо уравнение или

.

Уравнения для линии тока растворенного вещества (примесей) справедливо уравнение Пуассона , что сводит задачу о течении массы растворенного вещества (примеси) к выше записанным.

Частным случаем уравнения диффузии является уравнение теплопроводности, которое для изотропного материала с постоянным значением коэффициента температуропроводности в стационарном двухмерном случае записывается в виде

.

Задача теплопроводности сводится к стандартной задаче комплексного метода граничных элементов введением функции для линий теплового потока, которая удовлетворяет в стационарном случае уравнению Лапласа.

4. Задача о построении ортогональной криволинейной конечно-разностной сетки

Уравнения Коши-Римана для функции тока и для потенциала , записанные в форме (8.172), (8.173), могут быть применены для построения ортогональной криволинейной конечно-разностной сетки в областях с криволинейными боковыми границами односвязных канальных областей (например, области, представленные на рисунке 8.38). Действительно, выше отмечалось, что эквипотенциальные линии и линии тока взаимно ортогональны, и это позволяет при построении конечно-разностной сетки применить метод комплексных граничных элементов.

На практике при построении конечно-разностной сетки возникает необходимость ее сгущения или разрежения на отдельных участках расчетной области. Управление качеством строящейся конечно-разностной сетки можно обеспечить, решая уравнения Пуассона

,

.

В этих уравнениях функции следует подбирать. Применение метода граничных элементов в такой задаче становится трудоемким. Приемлемый алгоритм решения этой задачи излагается, например, в [Андерсон].

Отметим, что в [Громадка] приводятся и другие задачи, встречающиеся в технике (например, задачи о напряженно-деформированном состоянии твердого тела, задачи теории упругости), для решения которых могут быть применены алгоритмы метода граничных элементов.