Числовий ряд та його збіжність

Глава. 32

Основні поняття та означення. Необхідна ознака збіжності ряду

Числовий ряд та його збіжність

Припустимо, що задана нескінчина послідовність, , , чисел, або послідовність функцій , , .

Розглянемо спочатку відповідну послідовність чисел та введемо поняття ряду. Послідовність функцій є предметом розгляду у наступних главах.

Числовим рядом називається вираз вигляду:

., (32.1)

тобто нескінчена послідовність, члени якої поєднані знаком «+».

Числа , , мають назву членів ряду, а називається загальним членом ряду. Числовий ряд вважається заданим, якщо відома формула загального члену ряду, або будь-яке правило, за яким можна знайти довільний член ряду.

Наприклад, задано загальний член ряду:

.

Запишемо ряд у вигляді суми його членів. Для цього послідовно підставимо у формулу загального члена ряду значення Тепер записуємо ряд у вигляді нескінченної суми:

Розглянемо ще один ряд, загальний член якого записується формулою:

.

Відповідний йому ряд має вигляд:

Зазначено, що у наведених прикладах ряди були записані, якщо відома формула загального члену ряду. Іноді розглядається зворотна задача: за значеннями декількох членів ряду необхідно знайти загальний член ряду. Така задача розв'язується неоднозначно, і при визначенні загального члена по можливості намагаються визначити формулу найбільш простого виду.

Наприклад, необхіднозаписати формулу загального члена ряду, який надано у форму суми чотирьох перших його членів:

Проаналізуємо, що спільного спостерігається між цими числами. Так, кожний член ряду у чисельнику має 1, а у знаменнику – непарні числа, крім того, другий множник на шість одиниць більше першого. Оскільки знаки членів ряду чергуються, тому загальний член ряду можна записати у вигляді:

.

Сума перших членів ряду називається частковою сумою ряду. Тобто, можна записати такі часткові суми:

, , , …,

або у загальному вигляді:

. (32.2)

Послідовність часткових сум може мати скінченну границю, нескінченну границю, або не мати границі взагалі.

Числовий ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум збігається, тобто існує скінченна границя:

, (32.3)

при цьому число називається сумою ряду.

Ряд називається розбіжним, якщо границя часткових сум не існує або ж вона дорівнює нескінченності.

Якщо ряд збігається і його сума дорівнює , то записують:

. (32.4)

Проведемо дослідження на збіжність числового ряду:

За означенням (32.2) знайдемо суму перших членів даного ряду:

.

Даний ряд можна представити як суму членів арифметичної прогресії, перший член та різниця . Отже, цю ж часткову суму можна записати за допомогою формули суми членів арифметичної прогресії таким чином:

,

тоді

,

отже, ряд розбігається.

Дослідити ряд на збіжність.

Перетворимо загальний член ряду таким чином:

= ,

тоді часткова сума визначається як

.

Тоді

,

тобто ряд збігається.

Дослідити на збіжність ряд:

Складемо послідовність часткових сум цього ряду:

, , , ,...

У даному прикладі послідовність часткових сум обмежена, але не має границі, отже, за означенням цей ряд розбігається.