если угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, то прямые перпендикулярны

5.8 Расстояние от точки до прямой

Под расстоянием от точки до прямой понимают длину перпендикуляра , опущенного из точки М на прямую .

, тогда

Чтобы найти расстояние от точки до прямой, следует в общее уравнение прямой подставить координаты точки , взять это выражение по модулю и разделить на квадратный корень из .

5.9 Точка пересечения двух прямых

Рассмотрим несколько случаев расположения двух прямых на плоскости, заданных общими уравнениями:

Составим систему уравнений:

1. Система имеет единственное решение, если

- чтобы прямые пересекались в одной точке, коэффициенты

при неизвестных их общих уравнений должны быть

непропорциональны.

2. Система не имеет решений, если

3. Система имеет множество решений, если

§6. Понятие об уравнении плоскости и прямой в 3-х мерном пространстве

6.1 Уравнение плоскости, проходящей через точку

и нормальному вектору

Пусть точка , тогда вектор .

Так как , то , тогда

- векторное уравнение плоскости

или

- уравнение плоскости в координатах

6.2 Общее уравнение плоскости

В уравнении раскроем скобки и приведем подобные:

- общее уравнение плоскости,

где А, В, С – координаты нормального вектора;

х, у, z – координаты точки М.

Частные случаи:

1)

2) D = 0 – плоскость, проходит через начало координат:

3) Если отсутствует одна из координат, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси:

4) Если отсутствуют две координаты, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости:

Для построения плоскости необходимо общее уравнение, путем деления на свободный член D, привести к уравнению плоскости в отрезках на осях:

6.3 Взаимное расположение двух плоскостей

6.4 Прямая в пространстве

Определение 1. Прямая в системе ОХУZ рассматривается как линия пересечения двух плоскостей.

Прямая в может быть задана с помощью направляющего вектора.

Определение 2. Вектор , параллельный прямой называется направляющим вектором прямой.

Пусть на прямой известна точка , т.е. . Возьмем на этой прямой произвольную точку . Тогда .

Так как их координаты пропорциональны:

- канонические уравнения прямой,

где m, n, p – любые действительные числа, в том числе и ноль, т.к.

запись символическая. Но одновременно все три координаты m, n, p нулю

быть равными не могут.

§7. Кривые второго порядка

Определение 1. Кривой второго порядка называется линия, которая аналитически определяется уравнением 2-й степени относительно х и у.

, где

А, В, С, D, Е, F – действительные числа.

В зависимости от значения коэффициентов А, В, С получаются различные виды кривых, причем коэффициенты А, В, С не могут одновременно равняться нулю.

К кривым второго порядка относятся:

1. окружность

2. эллипс

3. гипербола

4. парабола

Рассмотрим каждую из этих кривых.

7.1 Окружность

Определение 1. Множество точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром, называется окружностью.

- нормальное уравнение окружности,

где а и b координаты центра окружности: С (а; b).

Если а = b = 0, то - каноническое уравнение окружности (С(0;0)).

7.2 Эллипс

Определение 1. Множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, называется эллипсом.

- каноническое уравнение эллипса, где

а – большая полуось;

b – малая полуось.

- нормальное уравнение эллипса.

7.3 Гипербола

Определение 1. Множество точек плоскости, разность расстояний, которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а, называется гиперболой.

- каноническое уравнение гиперболы, где

а – действительная полуось;

b - мнимая полуось.

- нормальное уравнение гиперболы,

- уравнение асимптот гиперболы.

7.4 Гипербола, как график дробно - линейной функции

Пусть дана дробно - линейная функция . Докажем, что этому уравнению на плоскости тоже соответствует гипербола.

Преобразуем правую часть уравнения:

- уравнение гиперболы, как графика обратной пропорциональности со смещенным центром.

7.5 Парабола

Определение 1. Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и одной прямой, называемой директрисой, называется параболой.

7.6 Параллельный перенос осей координат

Существуют формулы перехода от старой системы координат к новой для облегчения построения линий:

и, наоборот: от новой системы к старой:

Пример: построить линию

§8. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривых 2-го порядка

Общее уравнение кривых 2-го порядка в содержит сумму квадратичной формы, линейной формы и свободного члена.

Задача приведения общего уравнения кривой 2-го порядка сводится к переходу к новому базису рассматриваемого пространства, относительно которого наиболее простой вид имеют квадратичная и линейная формы этого уравнения.

8.1 Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Определение 1. Квадратичную форму от 2-х и более переменных можно определить как однородный многочлен 2-го порядка от этих переменных (сумма показателей степени х и у в каждом слагаемом равна 2).

Квадратичная форма от двух переменных имеет вид:

Например:

- квадратичная форма от двух переменных. Здесь . Сумма показателей степени х и у для каждого слагаемого равна двум.

Определение 2. Матрица называется матрицей квадратичной формы.

Например:

Для квадратичной формы матрица имеет вид .

Матрица А – симметрическая матрица. С ее помощью всякую квадратичную форму можно записать в виде:

В самом деле:

Запись (2) показывает, что квадратичная форма имеет наиболее простой (канонический) вид в том базисе, в котором наиболее простой вид имеет матрица А.

Наиболее подходящим в этом смысле является базис из собственных векторов оператора, порожденного матрицей А. В нем А принимает вид , где - собственные числа оператора, порожденного матрицей А.

Отсюда следует, что для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо с помощью ортогонального оператора перейти от данного базиса к базису из нормированных собственных векторов оператора, порожденного матрицей А.

Определение 3. Базис называют ортонормированным, если у него векторы попарно ортогональны (т.е. ) и нормированы (т.е. имеют единичную длину).

Определение 4. Для того, чтобы нормировать вектор достаточно разделить его на его длину.

Пример:

Ортогональный оператор сохраняет длины векторов и углы между векторами, поэтому он ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис .

В новом базисе квадратичная форма примет вид:

- канонический вид квадратичной формы.

Вывод: Всякая квадратичная форма от 2-х переменных приводится с помощью ортогонального оператора к каноническому виду: , где - собственные числа оператора, порожденного матрицей квадратичной формы.

Пример: Привести к каноническому виду квадратичную форму:

Решение: Составляем матрицу А и находим собственные числа оператора, порожденного матрицей А.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы:

в базисе из нормированных собственных векторов оператора порожденного матрицей А.

8.2 Преобразование линейной формы. Приведение общего уравнения кривой 2-го порядка к каноническому виду

Пусть требуется привести к каноническому виду общее уравнение кривой 2-го порядка:

Причем, квадратичная форма этого уравнения уже к каноническому виду приведена: .

Тогда, чтобы записать уравнение этой кривой в базисе , преобразуем линейную форму данного уравнения. С этой целью находим координаты базисных векторов в базисе , составляя матрицу Н ортогонального оператора перехода от базиса к базису :

- матрица перехода от старого базиса к новому.

Записываем формулы перехода от координат х, у к координатам :

Получаем уравнение: .

При этом важно, чтобы - соответствовала , а - соответствовала .

Дальнейшее упрощение уравнения кривой осуществляется путем выделения полных квадратов в уравнении (2) и заменой получающихся разностей вида: и переменными Х; У .

Геометрически эта операция равносильна параллельному переносу осей координат , при котором начало координат помещается в точку с координатами (а;b). Полученное уравнение относительно переменных Х и У и будет искомым каноническим уравнением кривой.

Пример: Привести к каноническому виду уравнение кривой:

1. Приводим к каноническому виду квадратичную форму данного

уравнения:

Следовательно, канонический вид квадратичной формы: .

2. Для преобразования линейной формы находим координаты в базисе для базиса , составленного из нормированных собственных векторов оператора, порожденного матрицей А.

Из системы имеем:

откуда ;

откуда

Составляем матрицу Н, записываем формулы перехода от координат (х; у) к координатам (): .

Поскольку , то искомые формулы перехода имеют вид:

Преобразуем линейную форму уравнения:

.

Таким образом, в базисе уравнение кривой имеет вид:

.

Для дальнейшего упрощения уравнения кривой делаем выделение полных квадратов:

Делаем замену: , получим

Окончательно - уравнение параболы, симметричной оси ОY.

Замечание. Квадратичная форма упрощается поворотом осей координат, а линейная форма - параллельным переносом осей.

	Главная \| Случайная страница \| Контакты \| Мы поможем в написании вашей работы!