Моделирование Фильтра

После предварительной фильтрации сигнала и его оцифровки, имеем ряд числовых значений X(∆t) с равным шагом дискретизации ∆t. На этом этапе обработки сигнала предоставляется возможность реализации «гибкого» модуля цифровой фильтрации, структура которого представлена на рисунке.

Простейший способ аппроксимации по МНК произвольной функции s(t) - с помощью полинома первой степени, т.е. функции вида y(t) = A+Bt (метод скользящих средних). Произведем расчет симметричного фильтра МНК на (2N+1) точек с окном от -N до N.

Для определения коэффициентов полинома найдем минимум функции

приближения (функцию остаточных ошибок). С учетом дискретности данных

по точкам t_п= n∆t и принимая ∆t = 1, для симметричного НЦФ с нумерацией

отсчетов по п от центра окна фильтра (в системе координат фильтра), функция остаточных ошибок записывается в форме: σ (A, B) = ∑_n [ S_п – (A+B∙n)]².

Рисунок 2.10

Дифференцируем функцию остаточных ошибок по аргументам А, В, и, приравнивая полученные уравнения нулю, формируем 2 нормальных уравнения

С учетом очевидного равенства = 0, результат решения данных

уравнений относительно значений А и В:

A= , B= /

Подставляем значения коэффициентов в уравнение аппроксимирующего полинома, переходим в систему координат по точкам k

массива у(k+τ) = А+В∙τ, где отсчет τ производится от точки k массива, против

которой находится точка n = 0 фильтра, и получаем в общей форме уравнение фильтра аппроксимации:

у(k+τ) = +τ /

Для сглаживающего НЦФ вычисления производятся непосредственно

для точки к в центре окна фильтра (τ= 0), при этом:

=

На рисунке 2.11 показана зависимость результата оцифровки сигнала от окна фильтра 2N+1.

Рисунок 2.11

Таким образом, проанализировав математический аппарат, принятый за

основу методики синтеза цифрового фильтра, сформулируем следующие выводы:

- повышение порядка фильтра увеличивает степень касания частотной

характеристикой уровня коэффициента передачи Н=1 на частоте w=0 и расширяет полосу пропускания фильтра;

- увеличение количества членов фильтра приводит к сужению полосы

пропускания и увеличивает крутизну ее среза;

- модификация фильтров уменьшает осцилляции передаточной функции в полосе подавления сигналов.

Совместное изменение этих параметров позволяет подбирать для сглаживания данных такой фильтр МНК, частотная характеристика которого наилучшим образом удовлетворяет частотному спектру сигналов при минимальном количестве коэффициентов фильтра.

Из этого следует, что по средствам цифровой фильтрации, организованной в виде утилитарного программного обеспечения предоставляется возможность задавать различные параметры конечной фильтрации сигнала. И в частности — применительно к рассмотренной проблематике позволит наблюдать локальную геомагнитную обстановку Земли в различных частотных спектрах, основываясь на измерительных сигналах магнитометрической аппаратуры.

На основе классических подходов к цифровой фильтрации сигналов

предлагается методика расчета программных двусторонних симметричных

фильтров без изменения фазы выходного сигнала относительно входного. В

самом общем виде она включает:

1. Задание идеальной амплитудно-частотной характеристики передаточной функции фильтра. Термин идеальности понимается здесь в том

смысле, что на характеристике указываются полосы пропускания и подавления частот с коэффициентами передачи 1 и 0 соответственно без переходных зон.

2. Расчет функции импульсного отклика идеального фильтра. При наличии скачков функций на границах пропускания/подавления импульсный

отклик содержит бесконечно большое количество членов.

3. Ограничение функции отклика до определенного количества членов,

при этом на передаточной характеристике фильтра возникает, явление Гиббса - осцилляции частотной характеристики с центрами на скачках.

4. Для нейтрализации явления Гиббса производится выбор весовой функции и расчет ее коэффициентов, на которые умножаются коэффициенты функции отклика фильтра. Результатом данной операции являются значения коэффициентов оператора фильтра (рабочий импульсный отклик фильтра). По существу, операции 3 и 4 представляют собой усечение ряда Фурье динамического (временного) представления передаточной функции фильтра определенной весовой функцией (умножение на весовую функцию).

5. С использованием полученных значений коэффициентов оператора фильтра производится построение его частотной характеристики и проверяется ее соответствие поставленной задаче.

Таким образом, учитывая реальный субгармонический диапазон исследуемого информационного сигнала, анализ спектра геомагнитных возмущений целесообразно осуществлять по средствам усеченного ряда Фурье.

Следовательно, предлагается математическая модель обработки информационного сигнала, которая имеет вид:

где |B| - дискретное значение информационного сигнала в момент времени ; Ux, Uy, Uz - дискретные значения напряжения на выходе датчика в момент времени , пропорциональные проекциям модуля вектора магнитной индукции на оси X, Y, Z соответственно; - смещения функции U(B) относительно оси ординат; D-номер гармоники;

Q [Тл/(B*(рад/с)] - коэффициент пропорциональности, характеризующий крутизну функции преобразования датчика МП; w [рад/с] номинальное значение фильтруемой частоты; τ - расстояние от центра окна нерекурсивого цифрового фильтра(НЦФ); k - порядковый номер фильтруемого значения; n — порядковый номер значения оцифрованного сигнала от центра окна НЦФ; 2N+1 - размер окна НЦФ.

Совокупность полученных ММ являятся базой программно алгоритмического обеспечения, осуществляющего обработку

информационных сигналов как в широком спектре частот, так и в

субгармонической области.