Глава 3. Математические модели и анализ систем управления с ЭВМ

Наличие микропроцессора в контуре управления приводит к необходимости квантования непрерывных сигналов по времени и по уровню, что переводит исходную систему в класс непрерывно-дискретных систем, который требует новых методов описания, исследования и проектирования. Эти методы в значительной мере опираются на привычные для непрерывных систем понятия, но далеко не исчерпываются ими. Поэтому системы с ЭВМ в контуре управления выделяются в особый класс цифровых систем автоматического управления.

Большой вклад в развитие систем управления с ЭВМ внесли: Я.З. Цыпкин,
Ю.С. Попков [145, 146], В.А. Бесекерский [15, 16], Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев [68, 69, 79], А.С. Ющенко, В.А. Иванов [41], П.Д. Крутько [56], Гельфонд [31], Д.В. Пузанков [93, 94], Л.Т. Кузин [58], И.В. Прангишвили, Ю.А. Николаев, В.П. Петухов [90], С.М. Федоров, А.П. Литвинов [139] и другие.

Если в качестве регулятора динамической системы используется микропроцессор, то в описании системы присутствуют дифференциальные и разностные уравнения, функциональные зависимости, отражающие преобразования сигналов из непрерывной формы в дискретную и обратно, а также алгебраические выражения связи между звеньями. Это приводит к серьезным трудностям уже на этапе описания систем и последующем решении задач управления.

В настоящее время используются два подхода к рассмотрению таких систем: непрерывный и дискретный. В первом случае анализ и синтез проводится в непрерывной области, а полученные результаты синтеза подвергаются дискретизации для использования ЭВМ. Таким образом, речь идет об аппроксимации непрерывных систем, и, следовательно, при этом заведомо сужаются потенциальные возможности управления, так как в лучшем случае такой подход дает результаты не хуже достигнутых при непрерывном управлении. При втором подходе система рассматривается в дискретной области. Это предполагает замену дифференциальных уравнений разностными.

Каждый из указанных подходов приводит к методическим погрешностям, так как связан с заменой непрерывно-дискретной системы либо непрерывной, либо дискретной моделью, каждая из которых, в той или иной степени, отличается от исходной. В частности, можно показать, что при переходе к разностным уравнениям могут происходить качественные изменения. Например, система из управляемой может стать неуправляемой [81].

С другой стороны, даже ограничиваясь лишь разностными уравнениями, можно заметить, что используемый формальный аппарат описания динамики существенно усложняется при любой попытке расширить класс исследуемых систем. Простые связи «вход–выход» на основе передаточных функций приходится заменять на существенно более сложные, в которых исчезают алгебраические правила, хорошо знакомые инженеру из теории стационарных непрерывных систем. В частности, это обстоятельство проявляется уже при попытках описать связи «вход–выход» простейших преобразующих устройств, таких как ключ и экстраполятор, при любых предположениях о математических моделях и способах их реализации.

Опыт анализа и синтеза непрерывных систем широко используется при проектировании микропроцессорных систем. Однако при этом приходится находить ответы на целый ряд новых вопросов, таких как выбор требуемой разрядности, периода квантования, рационального программирования алгоритма, соответствующего масштабирования всех переменных и коэффициентов, преобразователей «аналог–код» и «код–аналог».

Очевидная сложность процессов управления, обусловленных эффектами квантования, наличием непрерывных и дискретных элементов, приводит к качественно новым явлениям в поведении систем, для глубокого исследования которых требуются весьма тонкие методы анализа. Тем не менее ответы на многие из поставленных выше вопросов могут быть получены без привлечения сложных математических конструкций качественной теории нелинейных систем, оставаясь в рамках привычных инженеру понятий теории управления.

Данная глава посвящена описанию систем с ЭВМ в дискретной и дискретно-непрерывной областях. Основное внимание уделяется механизму и эффектам, связанным с квантованием непрерывных сигналов, а также проблемам описания систем с непрерывными линейными динамическими объектами.

Хорошо известны и повсеместно используются понятия передаточных функций стационарных линейных систем (непрерывных и дискретных ).

Своей популярностью передаточные функции обязаны простому и удобному соотношению, связывающему вход и выход системы. При этом процедура, характеризующая действие линейного оператора, сводится к простой операции умножения двух комплексных выражений. Обсуждается взаимосвязь понятий пространства состояний и передаточной функции систем. Отдельно обсуждаются вопросы построения соотношений «вход–выход» для нестационарных систем.

Используя интегральные преобразования импульсных переходных (весовых) функций (одномерные и двухмерные), удается определить передаточные функции и с их помощью установить соотношения «вход–выход» для линейных нестационарных систем: непрерывных, дискретных, дискретно-непрерывных и непрерывно-дискретных. Полученные выражения по форме и по существу являются одинаковыми для разных типов линейных звеньев, что обеспечивает общность описания в переменных «вход–выход» для основных классов линейных систем.