Расчет статически неопределимых систем методом перемещений

1.1.1. Выбор неизвестных и основной системы

При расчете рам в качестве неизвестных принимаются перемещения узлов рамы, которые подразделяются на угловые и линейные. Узлами рамы следует считать места жесткого или шарнирного соединения стержней, точки излома оси стержня, места скачкообразного изменения жесткости стержня.

Общее число неизвестных складывается из угловых перемещений (поворотов жестких узлов) и линейных перемещений как жестких, так и шарнирных узлов. Число угловых неизвестных равно числу жестких узлов. Для подсчета числа линейных неизвестных необходимо заданную раму путем введения сквозных шарниров во все узлы, включая опорные, преобразовать в шарнирно-стержневую систему, степень подвижности которой определяется по формуле

, (1.1)

где - число шарнирных узлов (в шарнирно-стержневой схеме все узлы шарнирные); - число стержней, соединяющих узлы; - число опорных связей. В расчетах можно использовать и формулу

. (1.2)

Число линейных перемещений узлов определяется количеством дополнительных стержней, которые нужно ввести в шарнирную схему рамы, для того чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую. При соответствующем опыте это легко можно выяснить при визуальном анализе возможных перемещений элементов шарнирной схемы.

Количество неизвестных метода перемещений называют степенью кинематической неопределимости рамы.

Найдем число неизвестных метода перемещений для рамы
(рис. 1.1 а).

а		б
в		г

Рис. 1.1

Число неизвестных угловых перемещений равно трем (углы поворота жестких узлов , , ). Для определения числа линейных перемещений узлов образуем шарнирную схему, т.е. поставим шарниры во все узлы рамы (рис. 1.1 б).

При этом , , и .

В случае использования формулы (1.2) , (в узле шарнир двойной, а остальные одинарные), . Поэтому
.

Все шесть неизвестных показаны на рис. 1.1 в штриховыми линиями. Анализируя возможные перемещения узлов рамы, видим, что узлы , , могут перемещаться только по горизонтали, а вертикальные перемещения узлов , , , невозможны вследствие принятого допущения о нерастяжимости стержней и закрепления в узлах , , .

Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений, как и методом сил, выполняется в основной системе, образуемой из заданной (однако не путем устранения, а путем наложения дополнительных связей, которые бы полностью исключили возможность перемещений всех узлов рамы, рис. 1.1 г). Основную идею метода перемещений поясним на примере рамы, приведенной на рис. 1.2 а.

а

б

в

г

д

е

ж

Рис. 1.2

От действия на раму заданной нагрузки она деформируется. При этом узел 1 повернется на угол и сместится вправо на величину . Ввиду малости деформаций расстояние между узлами 1 и 2 после деформирования можно считать таким же, как и до него, поэтому узел 2 сместится вправо на ту же величину , что и узел 1. Основная система метода перемещений (рис. 1.2 б) получена из заданной добавлением двух связей: заделки в узле 1 и дополнительного опорного стержня в узле 2. В результате рама превратилась в набор однопролетных статически неопределимых балок (стержней) с неподвижными узлами.

Следует отметить, что дополнительную связь, введенную в узел 1, называют подвижной заделкой: она препятствует повороту узла, но не мешает его линейному смещению. Рассмотрим деформацию каждого из стержней в основной системе рамы.

От поворота узла 1 на угол левая стойка и ригель деформируются независимо друг от друга, как показано на рис. 1.2 в, г. Левая стойка (балка с защемленными концами) изогнется при повороте левого сечения на угол ; ригель (балка, защемленная слева и шарнирно опертая справа) при повороте первого сечения повернется на тот же угол . При смещении узлов 1 и 2 на величину левая и правая стойки изогнутся так, как показано на рис. 1.2 д, ж соответственно. Кроме того, левая стойка деформируется также и от действия внешней нагрузки (рис. 1.2 е).

Если найти угол поворота и линейное перемещение , то можно построить эпюры изгибающих моментов от этих воздействий и, сложив их с эпюрой от внешней нагрузки на основе принципа независимости действия сил, получить суммарную (действительную) эпюру, соответствующую деформации заданной системы. Для определения и составляются разрешающие уравнения, суть которых в следующем. Стержень рамы, деформируясь в основной системе, «стремится» повернуть дополнительную связь (заделку), в результате чего в ней возникают соответствующие реакции (реактивные моменты) . За положительное направление для реактивных моментов примем направление по часовой стрелке.

Аналогично при деформации стержней рамы от перемещения узлов 1 и 2 в дополнительной опорной связи 2 возникает противодействующая линейная реакция . В этих выражениях первый индекс означает номер дополнительной связи, в которой возникает реакция, второй - причину возникновения реакции. Например, - это реакция (реактивный момент) в заделке 1 от линейного смещения рамы ; - линейная реакция в дополнительной связи 2 от заданной нагрузки. Поскольку в заданной системе этих дополнительных связей нет, суммарные реакции, возникающие в них, должны быть равны нулю, то есть и . Используя принцип суперпозиции, выразим слагаемые реакций и через реакции от единичных перемещений:

где - реакция в первой дополнительной связи от ее поворота на угол ; - реакция в этой же связи от смещения в направлении второй связи и т.д. Полученные уравнения составляют систему разрешающих уравнений метода перемещений.

В общем случае число дополнительных связей в основной системе равно . При этом в узлы рамы вводятся два типа связей: упругие защемления (заделки), которые препятствуют повороту жестких узлов и не лишают их линейной подвижности; дополнительные стержни, препятствующие только линейным смещениям. В первых возникают только реактивные моменты, а во вторых - реактивные силы, направленные вдоль стержней. Дополнительные связи должны быть введены таким образом, чтобы лишить узлы рамы возможности перемещаться. Поэтому упругие защемления устанавливаются во всех жестких узлах, а дополнительные стержни - по направлениям предполагаемых линейных смещений узлов, что превращает шарнирную схему рамы в геометрически неизменяемую.

Таким образом, основная система метода перемещений представляет собой набор статически неопределимых балок (см., например, рис. 1.1 г).

1.1.2. Система разрешающих уравнений в канонической форме

Как видно из рассмотренного примера, основная система метода перемещений эквивалентна заданной схеме рамы по распределению внутренних усилий, деформаций и перемещений при условии равенства нулю реакций в дополнительно введенных связях, так как в заданной системе эти связи отсутствуют. Это обстоятельство используется для составления системы разрешающих уравнений:

(1.3)

где - реакция (реактивный момент или реактивная сила) в -й () дополнительной связи основной системы, вызванная единичным перемещением -й связи (); - реакция в -й дополнительной связи в результате действия внешней нагрузки.

Для определения коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений необходимо предварительно построить в основной системе метода перемещений эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных перемещений , ,..., и от внешней нагрузки. При этом используются табличные решения
(табл. 1).

Поскольку основная система представляет собой совокупность отделенных друг от друга защемлениями или шарнирами элементов (однопролетных статически неопределимых балок), то построение единичных и грузовой эпюр , ,..., , не вызывает затруднений. Единичное состояние любого элемента связано только с единичными перемещениями его концов и не зависит от состояния остальных элементов.

Таблица 1

Эпюра моментов и реакции	Эпюра моментов и реакции

Эпюры , ,..., могут быть построены с помощью решений, приведенных в табл. 1, от действия единичного угла поворота заделки и единичного смещения опор . Для составления таблиц (построения эпюр моментов и определения реакций) в статически неопределимых стержнях использовался метод сил.

Грузовые эпюры от действия различных внешних нагрузок в основной системе строятся столь же просто, с применением решений, приведенных в табл. 1.

Для балки с шарнирными опорами на концах решения легко находятся при любом загружении с помощью только уравнений равновесия и поэтому в таблицах не приводятся. В силу принятых допущений решения, данные в табл. 1, справедливы и для балок, имеющих в шарнирной опоре горизонтальную связь.

1.1.3. Вычисление коэффициентов системы канонических уравнений

Единичные и грузовые коэффициенты (реакции в дополнительных связях) , определяются статическим способом. При этом реактивные моменты в упругих защемлениях находятся из условий равновесия узлов рамы, а реакции в дополнительных опорных стержнях – из условия равновесия частей рамы, отсеченных от опорных закреплений.

Направление реактивного усилия считается положительным, если оно совпадает с направлением перемещения, заданного при построении единичной эпюры.

В ходе решения системы канонических уравнений определяют величины углов поворота и линейных смещений узлов заданной рамы, что позволяет построить действительные эпюры внутренних усилий в статически неопределимой раме.

1.1.4. Построение действительных эпюр внутренних усилий

Действительная (окончательная) эпюра изгибающих моментов строится способом суперпозиции (наложения эпюр) в соответствии с формулой

,

где , ,..., - эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных значений неизвестных перемещений , ,..., ; - эпюра изгибающих моментов в основной системе от действия внешней нагрузки.

При построении эпюры поперечных сил используется дифференциальная зависимость поперечных сил от изгибающих моментов:

.

На участке, где эпюра изгибающих моментов прямолинейна, численное значение поперечной силы определяется как тангенс угла наклона эпюры к оси стержня. Поперечная сила положительна, если для совмещения оси стержня с касательной к эпюре необходимо вращать стержень по часовой стрелке (при этом угол поворота должен быть меньше 90⁰).

На участке с криволинейным очертанием эпюр поперечная сила может быть вычислена как алгебраическая сумма двух поперечных сил и . При этом определяется как поперечная сила в шарнирно опертой на концах балке с прямолинейной эпюрой (опорных моментов), полученной соединением с помощью прямой ординат изгибающего момента на концах участка; - поперечная сила в сечении простой однопролетной шарнирной балки, загруженной внешней распределенной нагрузкой.

Продольные силы определяются из условий равновесия узлов рамы. При этом к узлам прикладываются действующие на них внешние силы, а также ранее найденные продольные силы. Узлы следует рассматривать в такой последовательности, чтобы в каждом из них было не более двух неизвестных продольных сил.

1.1.5. Проверки расчетов

Проверки в методе перемещений во многом сходны с проверками в методе сил.

Выбирая основную систему, нужно быть особо внимательным при определении числа линейных перемещений и постановке соответствующих связей, поскольку ошибки выявляются лишь при проверке окончательных результатов расчета.

Нужно быть также внимательным при построении единичных и грузовой эпюр в основной системе метода перемещений (они должны быть расположены строго на растянутых волокнах стержня). Избежать таких ошибок позволяет предварительное построение изогнутой оси стержня.

Значения коэффициентов и свободных членов могут быть проверены так же, как и при использовании метода сил:

;

;

,

где - суммарная единичная эпюра; - эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки, построенная в преобразованной основной системе. В качестве последней может быть принята любая геометрически неизменяемая, статически определимая система, образуемая после удаления лишних связей, т.е. основная система метода сил. Первый интеграл представляет собой сумму коэффициентов -го канонического уравнения, второй - сумму всех коэффициентов системы, третий - сумму всех свободных членов.

Проверки требуют построения дополнительных эпюр, немалых вычислительных затрат, а также внимательности. Кроме того, как и в методе сил, они не обнаруживают ошибок, допускаемых при образовании основной системы или построении единичных и грузовой эпюр. Поэтому такие проверки не всегда применяют.

Следует напомнить о том, что матрица коэффициентов системы канонических уравнений метода перемещений симметрична (); на главной диагонали расположены только положительные коэффициенты (), а сумма элементов матрицы всегда положительна.

Решение системы канонических уравнений проверяется подстановкой значений , ,..., во все разрешающие уравнения.

Полученное решение, представляющее собой перемещения узлов рамы, можно оценить визуально (направление перемещений должно соответствовать направлению действия внешней нагрузки).

Для проверки окончательной эпюры , как и в случае метода сил, используется деформационная (кинематическая) проверка. Кроме того, в отличие от метода сил, открывается дополнительная возможность найти неизвестные перемещения , ,..., , отличные от нуля по формуле

,

где - эпюра изгибающих моментов от -й единичной силы, соответствующей по месту и направлению и приложенной к любой статически определимой системе, образованной из заданной; - окончательная эпюра изгибающих моментов.

После деформационной проверки выполняют статическую, т.е. оценивают равновесие узлов, фрагментов и рамы в целом.