Задания для самостоятельной работы. Работа заключается в решении одной оптимизационной задачи методом динамического программирования

Работа заключается в решении одной оптимизационной задачи методом динамического программирования. Содержание задачи по вариантам и соответствующие исходные данные приводятся ниже.

Указания. Целесообразно придерживаться следующего порядка решения задачи:

1. Составить модель задачи.

2. Представить задачу как многошаговую: выделить и пронумеровать шаги. Эта нумерация должна сохраниться до конца решения.

3. Определить параметры состояния.

9. Составить уравнение состояния.

5. Ввести последовательность функций, четко определив их смысл и математическое представление.

6. Записать первую функцию последовательности и вывести рекуррентное соотношение с указанием переменных и области их изменения, по которым определяется экстремум в соотношении.

7. Провести условную оптимизацию. При решении функциональных уравнений там, где возможно, следует использовать отыскание оптимума в общем виде (классическим методом). Существенное значение имеет обоснованный выбор диапазона значений параметров состояния и шага дискретизации.

8. Используя результаты условной оптимизации, провести безусловную оптимизацию для всех заданных значений исходного состояния.

9. Выписать оптимальное решение и все соответствующие ему показатели, сделать выводы по результатам решения.

10. Осмыслить полученные результаты.

В некоторых вариантах используется процедура снижения размерности. Для них перечисленные действия недостаточны, так как может быть необходим еще один этап оптимизации, а условная и безусловная оптимизации могут повторяться несколько раз. Однако в целом схема решения аналогична.

В большинстве вариантов один из параметров задан в диапазоне, например 50-60. Это означает, что нужно найти решения для значений этого параметра от 50 до 60.

При решении задачи методом динамического программирования совершенно естественно применение компьютера, особенно в вариантах с большим объемом вычислений.

При использовании компьютера следует приводить укрупненную блок-схему алгоритма, текст программы с краткими комментариями, оформленные в таблицы конечные результаты расчета по шагам (или полные результаты, включая промежуточные при поиске экстремума).

При представлении конечных результатов необходимо также привести значения критерия на каждом шаге для возможных значений переменных. (Например, при распределении ресурса Х по трем предприятиям это доходы r ₁(x ₁), r ₂(x ₂) и r ₃(x ₃)).

Безусловная оптимизация проводится вручную с соответствующими пояснениями действий.

Варианты 1.1 - 1.3

В каждый месяц планового периода известен спрос на машины D_t (t =1,.., T), которые выпускает предприятие. Запас машин на складе предприятия составляет единиц на начало периода планирования. Общие затраты предприятия складываются из затрат на производство машин С (Х) и затрат на их содержание на складе.

Пусть затраты на производство одной машины определяются выражением

С (х)=С₀- С ₁ Х ²,

а затраты на хранение одной машины в течение месяца равны h. Месячное производство машин ограничено величиной В, а на складе можно хранить не более М машин. Отправка потребителю производится в конце месяца, а выпуск машин - равномерно в течение каждого месяца.

Требуется определить оптимальный план выпуска машин, а также вычислить максимальные потери от неоптимальности.

Значения параметров по вариантам даны в табл. 1.

Таблица 1

Вариант	D 1	D 2	D 3	D 4	D 5	C 0	C 1	h	B	M	i 0
1.1							0,04				0-8
1.2							0,03				5-8
1.3							0,07				2-12

Варианты 2.1 - 2.3

Характеристики оборудования зависят от его возраста t:

r (t) - стоимость ежегодно производимой продукции;

u (t) - годовые эксплуатационные затраты;

s (t) - остаточная стоимость (выручка от продажи оборудования).

На начало планового периода из N лет оборудование имеет возраст t=t ₀. В начале любого года оборудование можно сохранить или продать и купить такое же новое по цене P (включая установку и пр.). Продолжительность замены много меньше года.

Необходимо разработать оптимальную политику замены оборудования и сравнить её с наихудшей. Исходные данные приведены в табл. 2.

Таблица 2

Ва- риант

Функ- ции

t

P

2.1

r (t)

u (t)

2.2

r (t)

u (t)

2.3

r (t)

u (t)

; t ₀=0...6; N =10.

Примечание: рассматривается замена одной единицы оборудования.

Варианты 3.1 - 3.3

Автомобиль должен пройти 4 этапа длиной l_i километров каждый. Известны зависимость скорости движения автомобиля V_i (км/ч) от расхода горючего q (л/км) для каждого этапа. Скорость движения на трех этапах ограничена. Эти данные представлены в табл. 3.

Необходимо определить скорости движения, обеспечивающие минимальное время пробега при заданном количестве горючего Q (л). Показать, как отразится на решении изменение Q на 10% в обе стороны.

Таблица 3

Ва-риант	Пара-метры	1 этап	2 этап	3 этап	4 этап	Q
3.1	li
Vi (q)	160(1- e -0,2 q )	8 q	120(1- e - 0,1 q )	30 q -1,5 q 2
Vi max				-
3.2	l i
Vi (q)	130(1- e -0,1 q )	30 q -1,5 q 2	8 q	160(1- e -0,2 q )
Vi max		-
3.3	li
Vi (q)	8 q	170(1- e -0,2 q )	110(1- e - 0,1 q )	30 q -1,5 q 2
Vi max				-

Варианты 4.1 - 4.3

Планируется деятельность предприятия на 5 лет. Известны функции дохода r_i (x_i) предприятия в i -м году (х_i - количество средств, вкладываемых в i -м году). Требуется распределить имеющиеся средства в количестве Q условных единиц по годам планируемого периода, если часть дохода Р текущего года вкладывается в последующие годы, и вкладывать в год нужно не менее двух единиц средств. Как изменится решение, если снять последнее условие? Все исходные данные представлены в табл. 9.

Таблица 4

Ва-риант	Q	r 1(x)	r 2(x)	r 3(x)	r 4(x)	r 5(x)	P,%
4.1	13-16		1,4 x	30 x -1,5 x 2		1,6 x
4.2	15-18	2,5 x		1,5 x	20 x -3 x 2	10
4.3	16-19		1,2 x	20 x -2 x 2	10	3

Варианты 5.1 - 5.3

Средства Q распределяются между тремя предприятиями одной фирмы, которые связаны технологическим циклом производства так, что продукция 1-го предприятия является полуфабрикатом для второго, а продукция первых двух предприятий служит полуфабрикатом для 3-го предприятия. Известны соответствующие функции дохода r ₁(x ₁), r ₂(x ₂, x ₁), r ₃(x ₃, x ₁+ x ₂), где x_i - вкладываемые в i -е предприятие средства (табл. 5-7). Необходимо найти оптимальное распределение.

Таблица 5

Ва-	Q	r 1(x 1) при х 1
риант
5.1	7-8	2,2	3,3	4,4	5,6	5,9	6,0	6,0
5.2	8-9	2,5	2,9	3,5	4,2	5,5	5,7	5,6	5,5
5.3	9-10	2,1	2,9	3,9	5,0	5,8	6,7	6,8	6,7	6,5

Таблица 6

Ва-	х 1	r 2(x 1, x 2) при х 2
риант
5.1		2,2	2,8	3,1	4,3	6,0	6,5
		3,1	4,2	5,3	7,1	8,0
		3,3	4,5	6,1	7,3
		3,5	4,8	6,7
		4,7	5,9
		5,5
5.2		2,7	3,1	3,6	4,1	4,5	4,8	4,7
		3,0	3,5	4,1	4,7	4,9	5,1
		3,1	3,6	4,3	4,9	5,3
		3,5	3,9	4,5	5,1
		3,7	4,1	4,9
		4,0	4,6
		4,4
5.3		2,7	3,8	4,7	5,3	5,9	6,5	6,4	6,3
		2,9	3,9	4,9	5,5	6,1	6,7	6,6
		3,0	3,9	5,0	5,7	6,5	6,5
		3,2	4,1	5,1	5,8	6,5
		3,3	4,2	5,3	6,0
		3,5	4,6	5,8
		3,6	4,8
		4,3

Таблица 7

Ва-	х 1+ х 2	r 3(x 3, x 1+ x 2) при х 3
риант
5.1		3,4	3,8	4,2	5,0	5,2	5,0
		3,7	4,1	4,5	5,3	5,1
		3,7	4,2	4,6	5,5
		4,0	4,5	4,8
		4,2	4,8
		4,6
5.2		3,1	3,5	3,9	4,3	4,6	4,5	4,3
		3,3	3,6	3,9	4,4	4,7	4,6
		3,4	3,8	4,1	4,6	4,4
		3,6	3,9	4,3	4,7
		3,7	4,0	4,5
		3,9	4,3
		4,2
5.3		3,2	4,3	4,9	5,7	6,6	6,8	6,6	6,5
		3,4	4,5	5,2	5,9	6,9	6,8	6,7
		3,6	4,8	5,5	6,4	7,2	7,1
		3,9	5,2	5,9	6,8	7,0
		4,1	5,5	6,4	7,0
		4,5	5,8	6,7
		4,7	6,5
		5,4

Варианты 6.1 - 6.3

Предприятие выпускает 4 вида продукции, используя два вида сырья в пределах выделенных фондов В ₁ и В ₂. Нормы расхода сырья на единицу продукции приведены в табл. 8.

Таблица 8

Сырье	Нормы расхода на единицу продукции (по вариантам)	В
	1-й вид	2-й вид	3-й вид	4-й вид
I	2; 1; 3	4; 3; 2	1; 2; 2	2; 3; 1
II	4; 2; 1	2; 4; 3	3; 1; 1	3; 2; 5

Зависимость прибыли от объема производства каждого вида продукции задана аналитически (табл. 9).

Таблица 9

Продукция	Вариант 6.1	Вариант 6.2	Вариант 6.3
1-й вид			10 х - х 2
2-й вид	6 х	9 х - х 2	0,8 х 2
3-й вид	1,2 х 2		20(1- е -0,3 х )
4-й вид	8 х - х 2	1,1 х 2	7 х

Определить оптимальный план производства, рассматривая выпуск продукции только в целых единицах.

Варианты 7.1 - 7.3

Для объединения, включающего два предприятия, формируется план на 4 года. Известны функции дохода i -го предприятия в j -м году g_ij (x_ij), где х_ij - количество средств, вкладываемое в i -е предприятие в j -м году. Вложенные средства уменьшаются за год до величины j_i (x). Оставшиеся в конце года средства используются предприятием в последующие годы.

Требуется распределить имеющиеся средства в количестве R единиц по предприятиям и годам планового периода.

; ; j_i (x)=[ b_i x ].

Квадратные скобки означают взятие целого по правилам округления. Значения всех параметров даны в табл. 10 и 11.

Таблица 10

J	K 1 j	K 2 j
		3,8
	8,5	4,1
	9,1	3,9
	11,6	4,3

Таблица 11

Вариант	a 1	a 2	a 3	a 4	b 1	b 2	R
7.1	0,25	0,3	0,3	0,4	0,26	0,3	13-15
7.2	0,2	0,25	0,3	0,35	0,3	0,2	10-14
7.3	0,3	0,3	0,32	0,35	0,4	0,45	11-14

Варианты 8.1 - 8.3

Автомобиль должен пройти 4 этапа длиной l_i (км) каждый. Известны зависимости скорости движения автомобиля V (км/ч) от расхода горючего q (л/км) для каждого этапа. Скорость движения на трех этапах ограничена сверху. Соответствующие данные приведены в табл. 12.

Необходимо определить скорости движения, обеспечивающие минимальный расход горючего при заданном времени пробега Т (ч). Показать, как изменится решение при увеличении или уменьшении Т на 10%.

Таблица 12

Вари-ант	Параметр	1-й этап	2-й этап	3-й этап	4-й этап	T, ч
	li					8,0
8.1	Vi (q)	160(1- e -0,2 q )	8 q	120(1- e -0,1 q )	30 q -1,5 q 2
	Vi max				-
	l i					8,5
8.2	Vi (q)	130(1- e -0,1 q )	30 q -1,5 q 2	8 q	160(1- e -0,2 q )
	Vi max		-
	li					9,5
8.3	Vi (q)	8 q	170(1- e -2 q )	110(1- e -0,1 q )	30 q -1,5 q 2
	Vi max				-

Варианты 9.1 - 9.3

Характеристики оборудования зависят от его возраста t:

r (t) - стоимость ежегодно производимой продукции;

U (t) - годовые эксплуатационные затраты;

S (t) - остаточная стоимость (выручка от продажи оборудования).

На начало планового периода из N лет работающее оборудование имеет возраст t = t ₀. В начале любого года оборудование можно сохранить или продать и купить новое. Продолжительность замены много меньше года. Пусть - число лет с начала планового периода. Тогда при <5 оборудование может заменяться новым, такого же типа с характеристиками r ₁(t), U ₁(t), S ₁(t) и ценой Р ₁, а при 5 может заменяться таким же либо другого типа с характеристиками r ₂(t), U ₂(t), S ₂(t) и ценой Р ₂.

Необходимо определить оптимальную политику замены оборудования для N =9 и t ₀=0¸6. Исходные данные приведены в табл.13.

Таблица 13

Ва- риант

Функ- ции

t

S

P

9.1

r 1(t)

U 1(t)

9.2

r 1(t)

U 1(t)

9.3

r 1(t)

U 1(t)

Для

r 2(t)

всех

U 2(t)

Варианты 10.1-10.3

Планируется деятельность объединения, включающего 2 предприятия, на 4 года. Известны функции дохода i -го предприятия в j -м году g_ij (x_ij), где х_ij - количество ресурса, вкладываемое в i -е предприятие в j -м году. Вложенные ресурсы за год уменьшаются до величины j_i (x).

Оставшийся в конце года ресурс возвращается в централизованный фонд объединения и снова полностью распределяется.

Определить оптимальное распределение ресурсов по предприятиям и годам, если начальный централизованный фонд ресурсов равен R, а зависимости имеют вид:

; ; .

Квадратные скобки означают взятие целого по правилам округления. Значения коэффициентов и R даны в табл. 14, 15.

Таблица 14

j	k 1 j	k 2 j	j	k 1 j	k 2 j
		7,2		3,5	6,5
		7,8		5,1	7,3

Таблица 15

Вариант	a 1	a 2	a 3	a 4	b 1	b 2	R
10.1	0,1	0,15	0,2	0,2	0,3	0,2	19-21
10.2	0,12	0,17	0,25	0,35	0,26	0,22	17-19
10.3	0,15	0,17	0,22	0,3	0,4	0,3	13-17

Варианты 11.1 - 11.3

Пусть непилотируемый летательный аппарат, запускаемый с земли, должен за время Т, кратное dt, достигнуть высоты Н. Сигнал коррекции траектории поступает через интервалы dt и мгновенно отрабатывается. Между корректировками полет идет под одним углом к горизонту. Известны зависимости:

; ,

где q - расход горючего, кг/с; h - высота аппарата относительно земли, м; v - скорость полета, км/ч; a - угол подъема (спуска), град;

Требуется найти оптимальную траекторию полета с точностью не хуже 4% от Н и соответствующее ей (оптимальное) значение Т; построить графики траектории в координатах “высота - время” и “высота - расстояние по земле от точки старта”.

Значения параметров приведены в табл. 16.

Таблица 16

Вариант	Н, м	dt,с	а 0, кг/с	а 1, кг/(с×град2)	а 2, кг/(с×м)	в 0, км/ч	в 1, км/(ч×град)
11.1				10-2	10-3
11.2				10-2	10-3
11.3				10-2	10-3

Варианты 12.1 - 12.3

На кондитерской фабрике организуется выпуск трех видов продукции из двух видов сырья. Известны нормы расхода сырья на изготовление единицы продукции и количество имеющегося сырья (табл. 17). Зависимость прибыли от объема производства каждого вида продукции дана в табл. 18.

Требуется определить оптимальный план производства продукции.

Указание: использовать прием снижения размерности на основе множителей Лагранжа.

Таблица 17

Вид сырья	Расход на единицу продукции (по вариантам)	Кол-во сырья (по вариантам)
1-й вид	2-й вид	3-й вид
I	2; 5; 3	3; 1; 2	1; 2; 4	10; 9; 8
II	4; 2; 3	2; 4; 5	3; 2; 1	12; 10; 11

Таблица 18

Вид продукции	Вариант 12.1	Вариант 12.2	Вариант 12.3
I	8	20(1- е - 0,3 х )	12 х - х 2
II	1,2 х 2	9 х - х 2	7 х
III	8 х - х 2	3 х	1,5 х 2

Варианты 13.1 - 13.3

Два вида средств в количестве P и Q, выделенных предприятию на квартал, необходимо распределить по месяцам. Прибыль за месяц зависит от величины использованных средств, как показано в табл. 19, где х и у - количества 1-го и 2-го вида средств, используемых в соответствующий месяц. На каждый месяц должно быть выделено не менее одной единицы первого вида средств.

Указание: использовать прием снижения размерности на основе множителей Лагранжа. При этом невязка по сумме средств не должна быть больше 3%.

Таблица 19

Вариант	1-й месяц	2-й месяц	3-й месяц	P	Q
13.1	1,5 х +10	5	6 +10 у - у 2
13.2	5 +2	2 х	0,5 х (12 у -2 у 2)
13.3	10	+10	5 +8 у - у 2

Варианты 19.1 - 19.3

Обработка информации осуществляется пятью последовательно включенными вычислительными устройствами (ВУ). Известна продолжительность однократного счета на каждом из ВУ - t_i (табл. 20). Для повышения достоверности обработки применяется повторный счет на отдельных ВУ. Зависимость вероятности получения правильного результата от числа повторностей счета Р (к) дана в аналитическом виде (табл. 21).

Определить вариант обработки информации, обеспечивающий вероятность получения правильного результата не хуже за минимальное время счета.

Вывести функциональное уравнение для случая максимизации при заданном общем времени счета.

Таблица 20

Вариант	t 1	t 2	t 3	t 4	t 5
19.1						0,7-0,9
19.2						0,8-0,95
19.3						0,9-0,97

Таблица 21

Вариант	Р 1(к)	Р 2(к)	Р 3(к)	Р 4(к)	Р 5(к)
19.1	1- 0,1 к	1- 0,5 к	1- 0,82 к	1- е - к	1- 0,2 к
19.2	1- 2×0,6 к + 0,8 к×к	1- е -2 к	1- 0,1 к	1- 0,2 к	1-
19.3	1- 0,5 к×к	1- 0,2 к	1- е -1,5 к	1- 4×0,1 к	1- е -к

Варианты 15.1 - 15.3

Проектируется строительство дороги с четырьмя перегонами (табл. 22). Капитальные (приведенные) и эксплуатационные затраты зависят от длины перегона l_i: с уменьшением l_i первые возрастают из-за увеличения объема земляных работ, а вторые снижаются.

Спроектировать дорогу общей длиной не более L с минимальными затратами.

Записать функциональное уравнение для случая минимизации длины при заданном уровне затрат.

Примечание: для упрощения расчетов считать, что эксплуатационные затраты даны на весь период эксплуатации дороги.

Таблица 22

Ва-	Перегоны	L, км
риант
	Ск=200/	Cк=50+400/ l	Cк=120-3 l	Cк=20 l -0,5 l 2	40-50
15.1	Cэ=40+2 l	Cэ=60(1-e -0,1 l )	Cэ=70+8	Cэ=40
	5£ l £10	10£ l £16	4£ l £10	20£ l £26
	Cк=180-2 l	Cк=580/	Cк=630/ l	Cк=120/(1-e -0,1 l )	60-70
15.2	Cэ=90(1-е -0,2 l )	Cэ=110+2 l	Cэ=80+9	Cэ=40+2
	10£ l £16	21£ l £27	14£ l £20	7£ l £12
	Cк=20+15 l -0,5 l 2	Cк=200/(2+0,1 l)	Cк=70+350/ l	Cк=170-10	55-65
15.3	Cэ=240 l/ (l +36)	Cэ=30+12	Cэ=30+5 l	Cэ=130(1-e -0,1 l)
	18£ l £25	10£ l £16	8£ l £14	16£ l £23

Варианты 16.1 - 16.3

На период в Т дней известен объем погрузочно-разгрузочных работ, выражаемый в ежедневной потребности в рабочих - d_t, t =1,.., T (табл. 23). Рабочих можно ежедневно нанимать и увольнять. При нехватке рабочих прибегают к сверхурочным работам и затраты возрастают на С ₁ за каждого недостающего рабочего, расходы на содержание одного незанятого рабочего составляют С ₂, а на найм одного рабочего - С ₃. Увольнение требует расходов С _9.

Составить оптимальный план регулирования численности рабочих на Т дней, если исходное количество рабочих равно R.

Таблица 23

Вариант

d 1

d 2

d 3

d 4

d 5

d 6

d 7

d 8

R

C 1

C 2

C 3

C 4

16.1

-

5-10

16.2

10-13

16.3

-

9-12

Варианты 17.1 - 17.3

Пусть непилотируемый летательный аппарат, запускаемый с земли, должен за время Т, кратное dt, достигнуть высоты Н. Сигнал коррекции траектории поступает через интервалы dt и мгновенно отрабатывается. Между корректировками полет идет под одним углом к горизонту. Известны зависимости:

q = a ₀+ a ₁ a ²- a ₂ h, v = b ₀- b ₁ a,

где q - расход горючего, кг/с; h - высота аппарата относительно земли, м; v - скорость полета, км/ч; a - угол подъема (спуска), град.

Значения всех величин приведены в табл. 24

.

Таблица 24

Ва- риант	Н,м	Т,с	dt, с	а 0, кг/с	а 1, кг/(с×град)2	а 2, кг/(с×м)	в 0, км/ч	в 1, км/(ч×град)
17.1					10-2	10-3
17.2					10-2	10-3
17.3					10-2	10-3

Определить оптимальную траекторию полета с точностью не хуже 4% от Н, построить графики траекторий в координатах “высота - время” и “высота - расстояние по земле от точки старта”.

Варианты 18.1 - 18.3

Для восстановления дороги проводятся текущие и капитальные ремонты. Ремонт может производиться не более 1 раза в год и только в начале года (длительность ремонта много меньше года). Текущий ремонт требует С _т затрат, а капитальный - С _к (табл. 25). После текущего ремонта годовые эксплуатационные затраты равны , а после капитального - , где t - число лет, прошедшее после ремонта на начало рассматриваемого года.

Определить оптимальный план ремонта дороги на Т лет, если на начало этого периода прошло лет после текущего (капитального) ремонта.

Таблица 25

Вариант	С т	С к			Т	t н
18.1			9+2 t	6+ t		= 0...5
18.2				7+1,1 t		= 0...7
18.3			8+0,5 t 2			= 3...8

Варианты 19.1 - 19.3

На космическом корабле действует N различных приборов. Прибор типа i весит w_i кг, а суммарный вес приборов не должен превышать W кг. Известны вероятности Р_i (t), с которыми i -й прибор может функционировать в течение t единиц времени (табл. 26). Как только запас какого-либо типа прибора станет равным нулю, космический корабль должен вернуться на Землю. Число приборов и их максимальный суммарный вес даны в табл. 27.

Определить запасы приборов, обеспечивающие наибольшее математическое ожидание времени полета космического корабля.

Таблица 26

t	P 1	P 2	P 3	P 4	P 5	P 6	P 7	P 8	P 9
	0,05	0,1	0,2	0,15	0,03	0,3		0,4	0,25
	0,1	0,15	0,3	0,2	0,07	0,4	0,1	0,3	0,2
	0,2	0,3	0,2	0,4	0,1	0,2	0,2	0,15	0,2
	0,3	0,2	0,15	0,2	0,2	0,06	0,4	0,1	0,15
	0,2	0,15	0,1	0,05	0,4	0,04	0,2	0,05	0,1
	0,15	0,1	0,05		0,2		0,1		0,1
wi	2,5		4,2	1,5	2,7	3,8	5,6	6,5

Таблица 27

Вариант	W, кг	N	Исключаемые типы приборов
19.1	56-66		3,5
19.2	60-73		2,6,9
19.3	45-58		7,8

Варианты 20.1 - 20.3

Продукты доставляются на грузовике с полезным объемом V. Потребность в I видах продуктов описывается непрерывным равномерным распределением с плотностью

иначе;

где m_i - масса i -го продукта.

Единица массы продукта i занимает объем v_i (табл. 28). Определить, как загрузить грузовик, чтобы минимизировать математическое ожидание неудовлетворенного за рейс спроса. Как изменится решение, если потребовать минимизации нереализованной стоимости при известной цене продуктов С_i, руб/кг.

С ₁=1,5; С ₂=3,2; С ₃=0,8; С ₄=2,5.

Таблица 28

Вариант	V	b 1	b 2	b 3	b 4	v 1	v 2	v 3	v 4
20.1	21,3					2,5		1,5	3,6
20.2	15,75						5/3		10,3
20.3	23,8					2,0	1,2	1,8	4,5

Примечание: рассматривать только целые значения массы продукта.

Варианты 21.1 - 21.3

Пять предприятий получают сырье с двух складов. Затраты на перевозку единицы груза от склада к предприятию зависят от количества перевозимого груза:

.

Пусть b_j - потребность j -го предприятия в сырье, а_i - количество сырья на i -м складе, при этом общий запас на складах равен суммарной потребности предприятий.

Определить оптимальный план перевозок сырья для данных, приведенных в табл. 29.

Таблица 29

Вариант			a 1	a 2	b 1	b 2	b 3	b 4	b 5
21.1	(i + j)/ i	i /(i + j)
21.2	(i + j)/ j	j /(i + j)
21.3	(3+ j)/ j	j /(3+ i)

Варианты 22.1 - 22.3

Прокладывается автомобильная дорога, которая должна связать пять пунктов. Длина каждого из 4 участков дороги L_i ограничена сверху и снизу. Капитальные