Примеры решения задач. Задача 8.3.1.Выполните статистическую обработку результатов прямых многократных измерений диаметра отверстия

Задача 8.3.1. Выполните статистическую обработку результатов прямых многократных измерений диаметра отверстия, приведенных в таблице 8.1, с доверительной вероятностью Р=0,96, и определите его годность, если размер по чертежу Ø12^+0,035мм. Систематические погрешности исключены.

Таблица 8.1 - Результаты измерений диаметра отверстия

Диаметр отверстия, мм	11,520	11,900	12,010	12,015	12,020	12,028	12,035	12,058	12,985
Число измерений, mi

Решение.

Проверяем ряд результатов измерений на отсутствие промахов.

Среднее арифметическое значение (3.11):

(мм)

СКО результатов измерений (3.15):

(мм)

Проверяем наименьшее и наибольшее значения. Рассчитываем значения квантилей (4.1): ;

По критерию Шарлье для n=50 предельно допустимое значение к_ш=2,32 (приложение Г). Следовательно, проверяемые значения являются промахами. Их исключаем из вариационного ряда и рассчитываем и :

Проверяем значения, оставшиеся крайними в ряду экспериментальных данных:

Значение 11,9 исключаем и пересчитываем и :

Значение квантиля t₄ также превышает к_ш, поэтому исключаем данные 12,058.

Проверяем значение 12.01 мм: , что не превышает значения к_ш=2,32 Следовательно, результат измерений 12,01 мм не является промахом.

Проверяем значение 12,035 мм:

Это значение также не содержит грубых погрешностей и остается в ряду экспериментальных данных.

Проверяем гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону по составному критерию, т.к. n<50.

Критерий 1 – уровень значимости q₁=2%.

По формуле (7.25):

Рассчитываем параметр d (7.5):

Определяем предельно допустимые значения в по приложению Ж:

; .

Гипотеза по критерию 1 принимается, так как выполняется неравенство (7.4):

Критерий 2 – уровень значимости q₂=2%. По таблице 2 приложения 3 доверительная вероятность Р=0,99.

По таблице 1 приложения Б t_p/2=2,575.

(мм); (мм);

(мм); (мм);

(мм)

Ни для одного из экспериментальных данных отклонение от среднего не превышает , поэтому гипотеза принимается по критерию 2 и в целом по составному критерию.

Рассчитываем доверительный интервал для Р = 0,96 по формуле (3.22).

Коэффициент Стьюдента t_p/2 = 2,055.

;

Округление производим до знака, с которым указаны предельно допустимые значения размера.

Предельно допустимые значения диаметра:

D_min = 12,000 мм, D_max = 12,035 мм.

Границы доверительного интервала входят в границы предельно допустимых значений:

12,019 мм > 12,000 мм и 12,024 мм < 12,035 мм, следовательно, диаметр отверстия является годным, так как находится в поле допуска размера.

Задача 8.3.2. Определите электрическую емкость батареи (параллельно соединенных конденсаторов), при доверительной вероятности Р = 0,95, если результаты измерений емкости каждого из них распределены по нормальному закону и представлены в таблице 8.2. Систематические и грубые погрешности исключены.

Таблица 8.2 – Результаты измерений емкости, мкФ

Конденса- № тор измерения	С1	С2	С3	С4
	2,1	5,9	7,6	10,2
	2,8	6,2	7,8	10,5
	2,5	6,4	8,2	10,8
	2,4	6,1	8,6	10,3
	2,2	6,0	7,9	10,0

Решение.

При параллельном соединении емкость батареи конденсаторов имеет линейную зависимость:

С_δ = С₁ + С₂ + С₃ + С₄ (8.16)

Корреляция между погрешностями измерений емкости отсутствует, так как измерения были проведены при включении конденсаторов по отдельности. Применяем алгоритм обработки для линейной зависимости.

Определяем средние арифметические значения и СКО среднего для каждого конденсатора.

Определяем оценку среднего значения емкости батареи в соответствии с формулой (8.16):

Рассчитываем СКО оценки среднего емкости батареи (8.4):

Рассчитываем доверительный интервал (8.12).

Коэффициент Стьюдента для Р = 0,95 и числа степеней свободы, которое при линейной зависимости определяется по формуле:

(8.17)

где n_j – число измерений a_j - го аргумента, равно:

.

По приложению А t_p = 2,11. Доверительный интервал:

;

Задача 8.3.3. Определите мощность в электрической цепи по результатам измерений силы тока и напряжения (таблица 8.3), при доверительной вероятности Р = 0,98 и нормальном распределении случайных погрешностей измеряемых аргументов. Систематические и грубые погрешности исключены.

Таблица 8.3 – Результаты измерений параметров электрической цепи

Измеренный пара- № метр измерения	Сила тока, А	Напряжение, В
	5,2	12,6
	5,0	11,8
	5,5	12,0
	5,8	12,7
	4,8	11,9
	5,3	12,5

Решение.

Для определения алгоритма обработки результатов измерений необходимо определить, есть ли корреляция между погрешностями измеряемых аргументов. Рассчитываем средние арифметические значения:

Определяем коэффициент корреляции (8.2):

Проверяем условие наличия корреляции (8.1):

Коэффициент Стьюдента по приложению А для вероятности Р = 0,98 и числа степеней свободы f = n-2 = 6-2 = 4 равен t_p = 3,75, т.е. неравенство (8.1) не выполняется: 1,68 < 3,75, и корреляция отсутствует.

Применяем алгоритм для нелинейной зависимости.

СКО среднего силы тока (8.5):

СКО среднего напряжения (8.5):

Частные производные функциональной зависимости:

(8.18)

(8.19)

(8.20)

СКО среднего мощности (8.6):

(8.21)

Рассчитываем остаточный член ряда Тейлора и оцениваем его влияние на результат измерений.

Полный дифференциал второго порядка функциональной зависимости (8.18): (8.22)

где - наибольшие(по модулю) отклонения от среднего.

Остаточный член ряда Тейлора (8.7):

Неравенство (8.8) выполняется:

Следовательно, R не влияет на результат измерений и не учитывается.

Оцениваем среднее значение мощности:

(8.23)

Рассчитываем доверительный интервал:

Задача 8.3.4. При поверке гирь посредством измерения их в различных сочетаниях между собой и с эталоном получены показания, приведенные в таблице 8.4. Определите вид измерений и значения каждой из гирь с доверительной вероятностью Р = 0,95.

Таблица 8.4 – Показания весов, г, при сочетании гирь

Сочетания № гирь измерения
x+y	x+y+z	x-y+z	-y+z	-x+z

Решение.

Для каждого сочетания гирь определяем числовые характеристики: среднее арифметическое значение (3.17), дисперсию (3.14), а также статистический вес (8.15).

Для сочетания 1:

-среднее арифметическое значение:

-дисперсия:

-вес:

Результаты вычислений по всем сочетаниям представлены в таблице 8.5.

Таблица 8.5 – Числовые характеристики результатов измерений сочетаний гирь.

Сочетания гирь Характеристика
1Среднее арифметическое значение, г	599,5	1600,5	599,75		899,75
2 Дисперсия, г2	1,667	1,667	2,917	3,333	2,25
3 Вес, 1/г2	0,6	0,6	0,343	0,3	0,444

Приводим систему из пяти условных уравнений (сочетаний гирь) к системе нормальных уравнений с учетом коэффициентов и весов, представленных в таблице 8.6.

Система нормальных уравнений имеет вид:

(8.24)

Решаем систему через определители. Главный определитель:

(8.25)

Определители для нахождения искомых величин:

(8.26)

(8.27)

(8.28)

Вычисляем оценки среднего искомых величин:

(8.29)

Подставляем значения в условные уравнения и определяем остаточные погрешности как расхождение левой и правой частей условных уравнений, как показано в таблице 8.7.

Вычисляем СКО остаточных погрешностей по формуле:

(8.30)

где m – число искомых величин (m=3).

Таблица 8.7 – Определение остаточных погрешностей

Условные уравнения	Остаточные погрешности
Формула определения	Значение

Рассчитываем алгебраические дополнения:

(8.31)

Рассчитываем СКО искомых величин:

(8.32)

Определяем доверительные интервалы для искомых величин. Коэффициент Стьюдента t_p для доверительной вероятности Р = 0,95 и числа степеней свободы равен 4,3:

Задачи

В задачах 8.3.1 – 8.3.16 определите вид измерений.

Задача 8.4.1. Получите результат многократных измерений освещенности рабочего места в форме доверительного интервала с вероятностью 0,98, проведя статистическую обработку данных, представленных в таблице 8.8, учитывая, что систематическая погрешность отсутствует.

Таблица 8.8 – Результаты измерений освещенности

Освещенность, лк
Число результатов, mi

Задача 8.4.2. После измерения мощности партии электроламп получены результаты, представленные в таблице 8.9. Определите с надежностью 0,90 интервал, в котором находится значение мощности, а также вероятность того, что мощность лампы превысит 46 Вт. Систематические погрешности отсутствуют.

Таблица 8.9 – Результаты измерения мощности электроламп

Интервалы значений мощности	34;36	36;38	38;40	40;42	42;44	44;46	46;48
Число результатов измерений mi

Задача 8.4.3. Оцените результат измерений веса банок консервов в форме доверительного интервала с вероятностью 0,98 по данным, приведенным в таблице 8.10. Определите, находится ли результат многократных измерений в пределах поля допуска (400 + 20) г.

Таблица 8.10 – Результаты измерений веса банок

Вес, г
Число банок, mi

Задача 8.4.4. Определите с вероятностью 0,95 общее сопротивление электрической цепи, состоящее из внутреннего сопротивления источника r и активных сопротивлений R1, R2, R3 последовательно соединенных электрических элементов, измеренных по отдельности. Результаты измерений, из которых исключены систематические и грубые погрешности, распределены по нормальному закону и приведены в таблице 8.11.

Таблица 8.11 – Результаты измерений сопротивлений, Ом

Сопротивление № изме- рения	r	R1	R2	R3
	4,8	9,5	18,6	29,5
	4,6	9,8	19,8	29,8
	5,0	10,1	20,1	30,2
	5,2	10,5	19,9	30,0
	5,4	10,1	20,2	30,1
	4,9	10,4	20,3	29,7
	5,3	9,9	20,0	29,4
	5,6	9,7	19,7	30,5
	5,1	10,0	19,8	30,2
	4,8	9,9	20,1	29,9

Задача 8.4.5. Многократно измерено давление в двух емкостях с газом (таблица 8.12). Вместимость одной емкости , второго . Определите давление газа в емкостях с вероятностью 0,98, если их соединить между собой. Температура в емкостях одинакова и постоянна. Результаты измерений подчиняются нормальному закону; систематические и грубые погрешности исключены.

Таблица 8.12 – Результаты измерений давления в сосудах

№ емкости № измерения	Емкость 1, кПа	Емкость 2, кПа
	200,82	402,2
	204,46	404,6
	202,65	405,3
	202,08	400,4
	199,88	398,8
	201,24	403,9

Задача 8.4.6. Определите массу меди и серебра в бруске их сплава по показаниям динамометра, к которому подвешен брусок в воздухе и воде, приведенным в таблице 8.13. Выталкивающей силой воздуха можно пренебречь. Плотности серебра и меди соответственно равны . Результаты измерений не содержат систематических и грубых погрешностей и подчинены нормальному закону. Доверительная вероятность Р = 0,95.

Таблица 8.13 – Показания динамометра

№ измерения	Показания динамометра, Н
в воздухе	в воде
	2,28	2,19
	2,36	2,12
	2,41	2,17
	2,44	2,16
	2,40	2,20
	2,39	2,19

Задача 8.4.7. Определите с доверительной вероятностью Р=0,98 скорость автомобиля через 10 мин, если измерены его начальная скорость и ускорение движения, приведенные в таблице 8.14. Результаты измерений не содержат систематические и грубые погрешности и подчинены нормальному закону.

Таблица 8.14 – Результаты измерений параметров движения автомобиля

№ измерения	Скорость, км/ч	Ускорение, м/с2
		0,028
		0,030
		0,035
		0,026
		0,024
		0,032
		0,034
		0,029

Задача 8.4.8. Определите с вероятностью 0,98 силу тока и потребляемую мощность утюга (в электрической цепи) по результатам измерения напряжения и сопротивления, приведенным в таблице 8.15. Систематические и грубые погрешности исключены. Результаты измерений подчиняются нормальному закону.

Таблица 8.15 – Результаты измерений параметров электрической цепи

№ измерения	Напряжение U, В	Сопротивление R, Ом
		48,5
		48,8
		49,6
		50,0
		50,1
		51,2
		49,8

Задача 8.4.9. Определите плотность твердого тела, если получены результаты измерений (таблица 8.16).

Таблица 8.16 – Результаты измерений твердого тела

№ измерения	Масса тела m, г	Объем , см3

Задача 8.4.10. Определите с вероятностью 0,99 к.п.д. источника тока с внутренним сопротивлением r, если он работает на нагрузку с сопротивлением R. Результаты измерений сопротивлений приведены в таблице 8.17, подчиняются нормальному распределению, и из них исключены систематические и грубые погрешности.

Таблица 8.17 – Результаты измерений сопротивлений

№ измерения	Сила тока I, А	Мощность Р, кВт
	9,9	1,5
	9,7	1,8
	10,1	2,1
	10,0	2,0
	9,8	2,2
	10,2	1,9
	9,6	2,15

Задача 8.4.11. Определите мощность СВЧ-печи (х), телевизора (y) и холодильника (z), если с помощью секундомера и электросчетчика получены значения потребленной энергии, а затем и мощности при работе различных совокупностей этих электроприборов. Обработанные значения приведены в таблице 8.19.

Таблица 8.19 – Значения мощности в совокупных измерениях

Сочета ния № измерения
x+y=l1	x+z=l2	y+z=l3	x+y+z=l4
	550,2		314,6	715,6
	548,8	565,8	316,7	714,4
	550,5	565,0	316,2	715,2
	549,2	564,4	315,5	716,0
		564,9	315,8	714,7

Задача 8.4.12. В электрической цепи, состоящей из источника тока с известным значением э.д.с. Е, последовательно соединенных элементов с сопротивлениями R1, R2, R3, измерялись значения активных сопротивлений r, R1, R2, R3.

Результаты измерений получены измерением силы тока в цепи при замещении одного или двух сопротивлений эталонным сопротивлением r. Экспериментальные данные, приведенные в таблице 8.20, подчиняются нормальному закону распределения, из них исключены систематические и грубые погрешности.

Таблица 8.20 – Результаты измерений сопротивлений

Сочетание № изме- рения
R1=l1	R3=l2	R1+R2=l3	R2+R3=l4	R1+R2+R3=l5
	4,8	10,2	14,7	30,1	35,1
	5,2	10,6	15,1	29,6	34,6
	5,5	9,9	14,9		35,4
	4,6	10,1	15,2	29,8	34,9

Задача 8.4.13. Определите наибольшие значения погрешностей , вызываемых изменениями климатических факторов: температуры, давления, относительной влажности, соответственно, в установленных пределах. Значения суммарной случайной погрешности измерений линейного размера на предельно допустимых уровнях влияющих факторов подчиняются нормальному распределению, не содержат систематических и грубых погрешностей и приведены в таблице 8.21.

Таблица 8.21 – Результаты определения суммарной погрешности, мкм

Сочетания № измере- ния
	-7,3	7,2	2,2	3,4	-3,9	-2,1
	-7,8	7,5	2,4	3,5	-3,1	-2,6
	-7,5	7,3	2,3	3,1	-3,4	-2,5
	-7,2	7,7	2,5	3,7	-3,6	-2,2
	-7,1	7,6	2,1	3,6	-3,5	-2,4
	-7,4	7,9	2,7	3,3	-3,3	-2,7

Задача 8.4.14. При исследовании зависимости сопротивления R металлической проволоки от температуры Т получены экспериментальные пары значений в виде «температура-сопротивление» (таблица 8.22). Найдите значения сопротивления проводника при 0 ^оС – R_o и температурного коэффициента сопротивления - в зависимости:

(8.33)

Оцените точность полученных результатов.

Таблица 8.2.2 – Результаты измерений электрического сопротивления

Температура Т, оС
Сопротивле-ние R, Ом	86,4	88,1	89,8	91,5	93,0	95,2	96,6	99,3	100,6	102,0	103,0	104,0

*Рекомендации: Для составления условных уравнений . Уравнения равноточны.

Задача 8.4.15. Важную роль в авиастроении и при проектировании крупных сооружений, например мостов, играет флаттер. Это произвольно возникающие вибрации крыла или хвостового оперения самолета или элементов конструкции, которые могут вызвать разрушение. Проведен эксперимент с латунной пленкой (толщиной 3 мкм и шириной 12 мм) на трех уровнях длины и трех значениях скорости ветра (таблица 8.23).

Определите зависимость флаттера F – числа колебаний в минуту вида

(8.34)

где - коэффициенты; - длина пленки; - скорость ветра.

Таблица 8.23 – Результаты эксперимента по определению флаттера F, колебаний/мин.

Длина пленки, Скорость мм ветра , м/с	44,5

*Рекомендации: Принять

Проверить, равноточны ли результаты измерений.

Задача 8.4.16. Определите длину алюминиевого стержня при 0 ^оС и коэффициент линейного расширения алюминия по зависимости:

, (8.35)

где - длина стержня при изменении температуры на .

Результаты измерений длины стержня при разности температур приведены в таблице 8.24.

Таблица 8.24 – Результаты эксперимента по определению характеристик стержня из алюминия

Измене-ние тем-пературы , оС
Длина стержня , мм	150,043	150,098	150,182	150,364	150,470	150,538	150,700	150,790

Задача 8.4.17. Классифицируйте измерения: а) силы электрического тока с помощью амперметра прямого включения; б) сопротивления в электрической цепи методом «амперметра-вольтметра» с использованием закона Ома.

Задача 8.4.18. Температура в печи при термообработке детали контролируется термопарой с фиксацией результатов измерения самописцем. Классифицируйте измерения при поддержании необходимой температуры в печи.

Задача 8.4.19. При определении температурного коэффициента (ТКС) для пленочного резистора измеряют его электрическое сопротивление при определенной температуре. В итоге получают систему уравнений. В результате каких измерений получают значение ТКС?

Задача 8.4.20. В каком случае метод измерения массы путем сравнения с мерой будет нулевым, а в каком - дифференциальным?

Задача 8.4.21. Метод устранения погрешности из-за неравноточности двухчашечных весов предполагает одно взвешивание, при котором на одну чашку помещается взвешиваемый груз, а на другую – уравновешивающие гири, затем второе взвешивание, при котором взвешиваемый груз и гири меняют местами и добиваются уравновешивания добавлением (убавлением) гирь.

Определите метод устранения погрешности и составьте уравнение взвешивания.

Задача 8.4.22. Классифицируйте методы измерений давления с помощью приборов, схемы которых приведены на рисунке 8.1

а) б)

Рисунок 8.1 – Схемы измерений давления

Задача 8.4.23. При измерении индуктивности катушки методом «вольтметра-амперметра» (рисунок 8.2), обладающей активным сопротивлением 30 Ом, показания приборов оказались соответственно равны 5 В и 100 мкА. Определите вид измерений и значение индуктивности L при условии, что измерения проводились при частоте 50 Гц.

Рисунок 8.2 – Схема измерений индуктивности

Задача 8.4.24. На рисунке 8.3 приведены схемы для измерения сопротивления R_x с помощью амперметра и вольтметра. Классифицируйте измерения и напишите выражения для определения R_x.

Рисунок 8.3 – Схемы измерений сопротивления

Задача 8.4.25. При измерении электрической емкости методом «вольтметра-амперметра» (рисунок 8.4) на частоте 50 Гц вольтметр дал показание 125 В, а миллиамперметр 50 мА. Классифицируйте измерения и определите измеряемую емкость.

Рисунок 8.4 – Схема измерения емкости

Задача 8.4.26. Как с помощью амперметра, вольтметра и ваттметра измерить сопротивление на переменном токе? Приведите возможные схемы измерений и классифицируйте измерения.

Задача 8.4.27. Сопротивление R_x измеряют с помощью равноплечного моста (рисунок 8.5), в котором каждое из плеч R₂ и R₃ равно 500 Ом. Равновесие достигается при R₁'=500,6 Ом. После перемены местами R_x и R₁, равновесие моста достигается при R₁''=500,4 Ом.

Определите метод измерений, значение R_x и действительное соотношение плеч моста.

НИ – нуль-индикатор

Рисунок 8.5 – Схема измерительного моста

Задача 8.4.28. Как определить сопротивление электролампы в бытовых условиях, не имея омметра? Как это выполнить, если нет возможности отключить всех потребителей? Классифицируйте измерения.

Задача 8.4.29. Как без помощи ваттметра определить мощность, потребляемую телевизором? Классифицируйте измерения.

Задача 8.4.30. Одна из задач средневековья гласит: у двух рыцарей был 16 – литровый сосуд, наполненный вином и два пустых сосуда – 6-ти и 10-литровый. Как рыцарям разделить вино поровну, используя для перемешивания только три указанных сосуда? Какое минимальное число измерений при этом потребуется? Классифицируйте метод измерений.