Эффект Доплера

Часто в повседневной жизни мы сталкиваемся с такими явлениями как повышение (или понижение) тона звука при приближении (или отдалении) к нам какого-либо испускающего звук объекта, например приближающейся машины, то есть сначала сигнал машины звучит немного приглушенно, а потом становится громче и выше. Подобное явление-следствие того, что воспринимаемая нами частота звуковой волны отличается от частоты испускаемой самой машиной, и при приближении машины к нам - меняется. Чем же это обусловлено?

Многочисленные интерференционные и дифракционные явления, дают нам методы непосредственного измерения длины волны света в среде и в вакууме . По этим двум величинам можно определить также частоту испускаемого излучения или его период .

Однако, воспринимаемая частота или длина волны зависит не только от внутриатомных процессов, обусловливающих их появление, но также и от той системы координат, с которой связаны наблюдатели. Частота волнового процесса будет различной, если ее оценивать с точки, неподвижной относительно источника или движущейся по отношению к нему.

Это замечание впервые было сделано Допплером, который указал, что воспринимаемая частота становится больше при сближении источника и наблюдателя и меньше при их удалении друг от друга.

Рассуждения Допплера применимы ко всем волновым явлениям - оптическим, акустическим и иным. Допплер наблюдал (качественно) предсказанное им явление в акустических процессах.

Однако трактовка проблемы существенно зависит от того, можем ли мы говорить лишь об относительном движении источника и приемника по отношению друг к другу или имеет смысл говорить о скорости возмущения относительно среды, т.е. принимать в расчет движение источника и приемника в этой среде.

Для звуковых волн, несомненно, имеет место второй случай: акустические волны распространяются в среде (газ), внутри которой могут двигаться источник и приемник, так что имеет смысл вопрос не только об их движении друг по отношению к другу (относительное движение), но и о движении их по отношению к среде.

Рассмотрим поэтому отдельно оба случая:

а) движение источника

б) движение приемного прибора.

а) Источник движется относительно среды со скоростью V.

Скорость волны в среде C – постоянная, не зависящая от движения источника.

Пусть приемник находится в точке B и источник S_l движется со скоростью вдоль линии , соединяющей источник с приемным прибором Волна, испущенная в момент когда источник находится на расстоянии

от прибора, достигнет последнего к моменту волна, испущенная в момент , достигнет приемника в момент

ибо к моменту расстояние между источником и прибором сделается равным

(а + Vτ) или (а – V τ) в зависимости от направления движения. Итак, волны, испущенные источником за время = , действуют на приборы в течение времени

Если — частота источника, то за время им будет испущено N= волн и, следовательно, частота, воспринимаемая прибором, есть . Она равна

° в случае удаления источника,

в случае приближения источника.

Так как скорость волны в среде определяется свойствами последней, т. е. не зависит от движения источника и остается равной с, то в рассмотренном случае обязательно должно иметь место изменение длины волны.

Если обозначить через , длину волны, наблюдаемую в отсутствие движения источника, а через — длину волны, воспринимаемую в случае движения источника, то найдем

,

Итак, при движении источника в среде скоростьволны относительно прибора, находящегося в этой среде, остается постоянной, а частота и длина волны, воспринимаемые приемником, изменяются. Иными словами, опыт типа опыта Физо дает для скорости акустической волны то же значение, что и при неподвижном источнике звука, а интерференционный опыт - измененную длину волны; то же относится и к частоте, которая в случае акустических волн может наблюдаться непосредственно. Опыт Физо это – интерференционный опыт, где интерферирующие пучки проходят по двум параллельным, заполненным водой трубам. В первом случае вода неподвижна во втором случаи - вода в первой и второй трубе движется в противоположные стороны.

б) Приемник движется относительно среды со скоростью , скорость волны в среде равна с (рис.7.6).

Повторяя рассуждения, приведенные выше, мы должны были бы для и написать соответственно:

, , ибо сближение между волной и прибором происходит со скоростью (скорость волны относительно прибора) (рис. 7.6). Таким образом, , и частота, воспринимаемая приемником, будет равна

, в случае удаления прибора,

, в случае приближения прибора.

При движении приемника скорость волны относительно него складывается из скорости волны относительно среды и скорости прибора относительно среды, т. е. Равна

.

Длина волны, воспринимаемая приемником, остается, таким образом, неизменной. Действительно,

Итак, в случае движения приемника частота и скоростьволны относительно прибора меняются, но длина волны, воспринимаемая им, остается неизменной.

- а – скорость движения прибора составляет угол с линией источник – прибор,

- б – скорость движения источника составляет угол с линией источник – прибор.

Опыты по определению скорости звука, его частоты и длины звуковой волны могли бы подтвердить сказанное.

Выведенные формулы относятся к случаю, когда наблюдение производится вдоль линии BS, по которой происходит движение источника или прибора. Если направление наблюдения составляет угол с направлением движения, то в наших рассуждениях нужно сделать небольшие изменения. Во-первых, при движении приемника вместо следует подставить , ибо именно эта величина дает в рассматриваемом случае скорость сближения волны и прибора (рис.3). Во-вторых, в выражение для вместо войдет ,ибо . При этом предполагается, что мало по сравнению с . Таким образом, окончательные результаты соответствуют замене на , т. е. введению слагающей скорости вдоль линии SB(лучевая скорость). Окончательно получим:

,в случае движения источника,

, в случае движения прибора.

При получим исходную формулу для допплеровского смещения

При получим соотношение

как в случае движения источника так и в случае движения прибора. Следовательно, поперечный эффект Допплера отсутствует в случае акустических волн (в отличии от световых волн о которых будет сказано ниже).

Итак, для случая движения в среде мы имеем две различные формулы, которые отличаются друг от друга множителем ,

т. е. множителем, отличающимся от единицы на величину второго порядка малости (относительно )

.Для большинства случаев, рассматриваемых в акустике, различие это невелико, и им часто пренебрегают. Но оно имеет принципиальное значение, и, кроме того, при современных технических средствах достигает нередко и практически вполне заметных величин. Так, современные самолеты могут развивать скорость около 1000 км час и более, так что достигает 80% и различие в двух приведенных выше формулах становится значительным.

Если прибор движется относительно среды со скоростью , а источник — со скоростью и, то нетрудно установить формулу, описывающую положение вещей для этого случая. Предполагая, что оба они движутся в одну сторону, догоняя друг друга, получим, последовательно применяя выведенные выше формулы,

При найдем вполне строго.

Таким образом, если источник и прибор движутся совместно (т. е. неподвижны друг относительно друга), то явление Допплера не имеет места. Но если , то явление Допплера происходит, причем наблюдаемое изменение частоты зависит не от разности (), но от самих величин и . Поэтому в данном случае это явление позволяет определить не только скорость источника относительно прибора, но и скорость источника и прибора относительно среды.

В 1845 г. явление было изучено экспериментально (Бэйс – Баллот), и теоретические формулы проверены количественно путем наблюдения изменения высоты звука музыкального инструмента, звучащего на платформе поезда, проносящегося мимо станции. Изменение высоты звука наблюдатели, музыканты, оценивали на слух. Опыты были повторены позже при скорости поезда до 120 км/час.

Так же Допплер высказал предположение, что различие в окраске некоторых звезд обусловлено их движением относительно Земли. Последнее заключение неверно. Для подавляющего большинства звезд влияние их движения сказывается лишь в незначительных изменениях положения спектральных линий в спектре звезд. Тем не менее применимость принципа Допплера к оптическим явлениям не возбуждает сомнений. Впервые надежное экспериментальное установление оптического явления Допплера и наиболее плодотворные его применения были сделаны действительно при наблюдении астрономических явлений. В оптике вопрос о распространении волн в среде гораздо сложнее. Известно, что световые волны могут распространяться в вакуумном пространстве.

Если исходить из представления о вакууме как о среде, в которой распространяются электромагнитные волны и относительно которой можно измерять скорость источника и приемника (неподвижный эфир теории Лоренца), то эффект Допплера должен был бы трактоваться так же, как и выше.

Мы пришли бы к двум различным формулам, отличающимся на величину второго порядка относительно . Так как даже для движения Земли по ее орбите не превосходит , то, следовательно, различие в обеих формулах составляет лишь . Для большинства же реализуемых на опыте случаев различие еще меньше. Его нельзя констатировать непосредственным наблюдением над величиной допплеровского смещения. Однако удалось, как известно, осуществить и другие оптические опыты (например, опыт Майкельсона), которые были достаточно точны для того, чтобы констатировать указанные малые различия, если бы они существовали. Этими опытами было показано, что малое различие, ожидаемое в рамках представления о распространении световых волн в неподвижном эфире, не имеет места. Все без исключения процессы протекают таким образом, что играет роль только относительноедвижение источников и приборов по отношению друг к другу, и понятие абсолютного движения в вакууме не имеет смысла (принцип относительности). Поэтому и формулы, описывающие явление Допплера, не должны отличаться друг от друга для двух разобранных выше случаев, потому что иначе мы имели бы и в этом явлении принципиальную возможность констатировать абсолютное движение системы в вакууме, что противоречит принципу относительности. И действительно, если при выводе формул для расчета явления Допплера принять во внимание основные постулаты и следствия теории относительности (как будет показано далее), то мы получим для обоих случаев (движение источника и движение прибора) один и тот же результат, а именно.

Экспериментальное подтверждение принципа Допплера было получено, прежде всего, в астрономических измерениях. После того как было установлено, что следует ожидать сравнительно небольших изменений в частоте спектральных линий звезд, были предприняты многочисленные наблюдения такого рода. Впервые удалось надежно констатировать смещение водородных линий в спектрах Веги и Сириуса по сравнению с соответствующими линиями в спектре гейслеровой трубки, приписав это смещение движению звезд относительно Земли. В дальнейшем такого рода измерения делались и делаются весьма часто. При их помощи, строго говоря, нельзя проверить явление Допплера, ибо мы не имеем возможности непосредственно измерить скорость звезды. Наоборот, эти наблюдения используются для определения слагающей скорости звезды вдоль линии, соединяющей звезду и Землю (лучевая скорость звезд), в предположении о правильности принципа Допплера. В настоящее время такие измерения доведены до большой степени точности (с точностью до 1 км/с) и служат почти единственным методом исследования лучевых скоростей космических тел. Благодаря явлению Допплера были открыты двойные звезды, столь удаленные, что разрешение их посредством телескопов оказывается невозможным. Спектральные линии таких звезд периодически становятся двойными. Это может быть объяснено предположением, что источником являются два тела, попеременно приближающиеся и удаляющиеся, т. е. обращающиеся вокруг общего центра тяжести. Из подобных наблюдений нетрудно вычислить также период обращения удаленных двойных звезд и их лучевые скорости, т. е. скорости вдоль линии наблюдения.

В астрофизике нередко пользуются также принципом Допплера для оценки скорости извержения водородных масс, наблюдаемых на Солнце (протуберанцы). Измерение наблюдаемых изменений частоты водородных линий дает для скорости водородного облака значения свыше 100 км/с (и даже до 1000 км/с).

Спектроскопический метод определения скорости небесных тел был применен Фогелем, а впоследствии Ланглеем и Корню

На рис.7.8. представлена схема опытов А.А. Белопольского. S – источник света; А и B – движущиеся зеркала; S, S, S, S – движущиеся изображения S для измерения скорости вращения солнечного диска. С этой целью сравнивался сдвиг спектральных линий от восточного и западного краев Солнца. Линейная скорость на диаметре оказалась равной 2,3 км/с, тогда как непосредственные наблюдения перемещения солнечных пятен дают около 2 км/c. В таких наблюдениях можно видеть количественное подтверждение явления Допплера.

Первые лабораторные исследования оптического явления Допплера принадлежат А. А. Белопольскому, его опыты были позже повторены Б. Б. Голицыным.Белопольский увеличил скорость движения источника, использовав многократное отражение от движущихся зеркал. На рис.7.8 изображена схема, поясняющая идею Белопольского. Два зеркала A и Bсмещаются друг относительно друга. Посредине между зеркалами на расстоянии xот каждого из них помещается источник S, так что SN = x. Тогда SS' = 2x; SS = 4х и т. д.; вообще n-е. изображение окажется на расстоянии от источника 2nx. Если расстояние xот S до зеркала меняется со скоростью (движутся зеркала), то движутся и все изображения, так что скорость n-ого изображения будет равна

.

Таким образом, прибор Белопольского позволяет значительно повышать скорость наблюдаемого источника, которым является n-ое. изображение действительного источника.

Рис. 7.9. Схема прибора А. А. Белопольского

В приборе Белопольского (рис. 7.9) зеркала представляют собой радиальные лопасти двух колес (подобных пароходным), приводимых во вращение моторами. Окончательная скорость была около 500 м/c (в опытах Белопольского 0,67 км/c; у Голицына от 0,25 до 0,35 км/с). Спектральным прибором для наблюдения смещения служил у Белопольского трехпризменный спектрограф, у Голицына — эшелон Майкельсона (Рис.7.10). Расхождение опытных данных с теорией составляло 5%, что следует признать чрезвычайно хорошим результатом для таких трудных опытов.

Рис.7.10

Впоследствии Фабри и Бюиссон произвели подобные измерения более простым способом, использовав большую разрешающую силу интерференционного спектроскопа. Источником света служила охлаждаемая ртутная лампа, излучение которой отражалось от краев бумажного диска, вращающегося на центрифуге, причем линейная скорость края диска достигала 100 м/c, спектральная линия, отраженная от двух противоположных краев вращающегося диска, давала двойную линию, надежно разрешаемую интерференционным прибором.

Штарк наблюдал смещение спектральных линий, пользуясь в качестве источника света быстро несущимися светящимися атомами в каналовых лучах. Из этих опытов можно, пользуясь принципом Допплера, определить скорость каналовых лучей. Наблюдения оказались в согласии с оценкой этих скоростей по данным отклонения в электрическом и магнитном полях. В случае водорода получающиеся скорости столь значительны (порядка 10⁸ см/с), что наблюдение смещения можно без труда выполнить при помощи призменного спектрографа умеренной разрешающей силы.

В трубке с каналовыми лучами (рис. 7.11) светятся как неподвижные атомы, так и быстро несущиеся каналовые частицы. Первые дают резкие линии. Движущиеся же (с различными скоростями) каналовые частицы дают линии, сливающиеся в расширенную полоску, смещенную относительно первых.

Рис.7.11.

В трубке с каналовыми лучами (рис. 7.11) светятся как неподвижные атомы, так и быстро несущиеся каналовые частицы. Первые дают резкие линии. Движущиеся же (с различными скоростями) каналовые частицы дают линии, сливающиеся в расширенную полоску, смещенную относительно первых.

Наконец, следует упомянуть, что во всех газовых источниках света мы всегда имеем дело со светящимися атомами газа, летящими с довольно большими скоростями по всем направлениям (скорости от 100 м/с до 2 км/c в зависимости от молекулярного веса газа и его температуры). Вследствие допплеровского смещения спектральные линии оказываются расширенными. При значительном разрежении газа, когда столкновения между светящимися атомами и окружающими частицами сравнительно редки, явление Допплера служит главной причиной, определяющей ширину спектральной линии. Наблюдение уширения спектральных линий в указанных условиях также является подтверждением эффекта Допплера. Удалось установить, например, что при охлаждении такого источника жидким воздухом ширина линий уменьшалась соответственно уменьшению средних молекулярных скоростей.

При рассмотрении движения источника и прибора относительно среды приходим к двум различным выражениям для допплеровского смещения, отличающимся на величину второго порядка относительно . С точки зрения теории относительности оба эти случая должны приводить к тождественным формулам, ибо иначе измерения допплеровского смещения с точностью до открывали бы возможность установления абсолютной скорости прибора или источника.

И действительно, принимая во внимание преобразования Лоренца.

мы получим две идентичные формулы, независимо от того, будем ли мы рассматривать движение источника относительно прибора или наоборот. Предположим, например, что прибор Bрасположен в системе K, а источник S связан с движущейся относительно прибора вдоль оси xсистемой K', причем прибор и источник расположены на линии движения.

Пусть частота источника (в системе K') есть . Требуется определить частоту , воспринимаемую прибором B в системе K.

Наблюдатель отмечает в координатной системе, связанной с прибором, два момента процесса испускания сигнала и и две координаты и , которые соответствуют положению источника в эти моменты. Длительность выделенной части сигнала (по часам K) равна , а координата , где – скорость источника (системы K').

Так как источник удален от прибора, то моменты и начала и конца действия выделенной части сигнала на прибор будут отличаться от и, а именно, будут равны

, ,

где, а – расстояние между прибором и источником в момент . Таким образом, длительность воздействия на прибор в системе K есть

Каково же число колебаний, дошедших за это время до прибора? Так как источник испускает за 1 с колебаний (в системе K'), то для оценки полного числа колебаний в выделенной части сигнала надо знать длительность ее в системе K'. Величина эта есть , где и (моменты конца и начала выделенной части сигнала в системе K') можно найти при помощи преобразования координат

и

Отсюда

.

Итак, число дошедших до прибора за время колебаний равно , и для воспринимаемой им частоты имеем

Совершенно такая же формула получается, если с системой K'связан прибор, а с системой K — источник. Как уже упоминалось, эти формулы отличаются на величины второго порядка относительно от формул, выведенных ранее без учета соображений теории относительности. Если линия, соединяющая источник и прибор, составляет угол с направлением скорости перемещения, то аналогичное рассмотрение приведет к соотношению

.

При =0 получим соотношение

При найдем . Таким образом, согласно теории относительности эффект Допплера должен иметь место и в том случае, когда направление распространения света перпендикулярно к направлению движения (поперечный эффект Допплера).

Это принципиальное отличие, характерное для теории относительности, может служить для новой экспериментальной проверки ее положений. Трудность опыта лежит в том, что ожидаемое смещение мало по сравнению с обычным (продольным) эффектом Допплера, так что даже небольшое отклонение от строгой перпендикулярности между направлением наблюдения и скоростью замаскирует ожидаемый эффект. Айвсу удалось, однако, преодолеть это затруднение. В его опытах источником света служил пучок каналовых лучей водорода, несущихся со значительной скоростью ( см/с), причем специальная конструкция трубки обеспечивала высокую однородность каналовых лучей по скоростям. Наблюдая свет, посылаемый каналовыми частицами непосредственно, и свет, отраженный зеркалом, Айвс мог выделить изменение частоты, связанное с поперечным явлением Допплера.

Идея опыта Айвса понятна из следующей схемы (рис.8). Если каналовый луч H направлен под некоторым углом к зеркалу, перпендикулярно к которому расположена ось спектрографа, то имеет место обычный эффект Допплера, соответствующий компоненте скорости вдоль направления наблюдения. Пусть угол между направлением скорости частицы и направлением света, идущего непосредственно от частицы к спектрографу, равен (см. рис. 7.12). В таком случае свет, направляющийся от частицы к зеркалу (и от него отраженный в спектрограф), будет составлять с направлением скорости угол . Поэтому эффект Допплера, соответствующий лучевой компоненте скорости, дает

смещения и ,

симметричные относительно несмещенной линии. Поперечный же эффект Допплера, накладываясь на описанный выше, дает для обеих компонент смещение в длинноволновую область спектра, т.е. (красное смещение).

В результате обоих эффектов получится картина, асимметричная относительно несмещенной линии. Измерив наблюденные результирующие смещения и , можно вычислить смещение , характеризующее поперечный эффект Допплера и соответствующее изменению длины волны в сторону красного конца спектра на величину . Измерения Айвса действительно обнаружили такой эффект и дали для величины значение, весьма близкое к предсказанному теорией относительности, а именно

ожидаемое A;наблюденное A.

Закон Хаббла. Красное смещения у галактик пропорционально расстоянию галактик. При наличии больших дисперсий в лучевых скоростях галактик это явление можно было установить с уверенностью, наблюдая лишь все более и более удаленные галактики, что каждый раз представляло новые трудности, т.к. более отдаленные объекты являлись все более слабыми и малодоступными для спектрографирования. Вместе с тем все более затруднительным становились правильные оценки расстояний. До последнего времени линейность зависимости между красным смещением и расстоянием H галактики статически подтверждались при всяких новых изменениях, так что формула

(c-скорость света, -лучевая скорость) при правильном значении коэффициента пропорциональности H может служить средством определения расстояния r по измеренному в спектре галактики смещению или вычисленной отсюда скорости удаления галактики

Коэффициент H в выражении называется постоянной Хаббла. Ее первоначальное значение, найденной Хабблом, было 540 км/c на 1Mпк (1мегапарсек) расстояния. Новое значение величины, установленное в 1952 г., было H=270 км/(c Mпс). Но и эта величина оказалась неточной. Последующие определения указывают на значения

км/(c Mпк)

А некоторые исследователи определяют H=55 км/(c Mпк). К сожалению, значение этой фундаментальной космологической постоянной продолжает оставаться неточной.