АФЧХ типовых элементов ИСАУ

N п/п	Частотная функция	АФЧХ
w=p
j w=p w=0 -1/2 j R

6.7.2. Частотные критерии устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова

Указанный критерий, справедливый для непрерывных САУ, был предложен Я.З. Цыпкиным для определения устойчивости ИСАУ в 1948 г.

Пусть имеется характеристическое уравнение системы

(6.86)

которое можно представить в виде

(6.87)

где – корни характеристического уравнения.

В соответствии с необходимым и достаточным условием устойчивости все корни должны быть по абсолютной величине меньше единицы.

Результирующий угол поворота вектора ` при изменении w от –p до +p будет равен сумме углов поворота отдельных векторов – сомножителей , где . Для устойчивой системы все корни должны располагаться внутри круга единичного радиуса, описываемого концом вектора при изменении w от –p до +p, рис. 6.18 а. Все корни или часть корней неустойчивой системы расположены за пределами единичного круга, рис. 6.18 б.

Рассмотрим оба указанных случая.

1. Пусть , рис. 6.18 а. При изменении w в пределах от –p до +p конец вектора описывает окружность единичного радиуса. Конец вектора находится внутри этого круга. Поэтому угол поворота суммарного вектора равен 2p. Следовательно, каждый корень характеристического уравнения, находящийся внутри единичного круга, обеспечивает приращение суммарному вектору , равное 2p. Поэтому общий угол поворота равен , где m - количество корней внутри единичного круга.

2. Пусть , рис. 6.18 б. Конец вектора находится за пределами круга. При изменении w в пределах от –p до +p суммарный вектор повернется на одинаковые углы в положительном и отрицательном направлении, а результирующий угол поворота будет равен 0. Следовательно, корни , расположенные вне единичного круга, не будут давать приращения к углу поворота вектора и общий угол поворота его будет меньше, чем .

Критерий устойчивости в связи с изложенным определится следующим образом:

Для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы вектор при изменении w от –p до +p, монотонно возрастая и не обращаясь в нуль, вращался против часовой стрелки, при этом результирующий угол поворота вектора должен равняться , где m – степень полинома характеристического уравнения или чтобы кривая Михайлова, начинаясь с положительной полуоси вещественных корней, обошла в положительном направлении последовательно квадрантов комплексной плоскости.

Рассмотрим алгоритм построения кривой Михайлова.

Выделим действительные и мнимые части с использованием формулы

(6.88)

что дает

(6.89)

где

Задаваясь значениями w от –p до +p, вычисляют значения и .

По точкам в прямоугольной системе координат строят всю кривую Михайлова. На рис. 6.19 изображена кривая Михайлова для устойчивой системы 3-го порядка.

Критерий устойчивости Найквиста

С помощью аналога критерия Найквиста можно исследовать устойчивость замкнутой ИСАУ на основе анализа дискретной передаточной функции разомкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой ИСАУ с единичной обратной связью может быть записана следующим образом:

, (6.90)

где .

Рассмотрим знаменатель передаточной функции

или (6.91)

Числитель выражения (6.91) является характеристическим уравнением замкнутой системы, а знаменатель – разомкнутой, поэтому можно записать:

Известно, что замкнутая ИСУ будет устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри круга единичного радиуса.

В показательной форме выражение имеет вид

Из этого выражения следует, что аргумент функции замкнутой системы равен

или

где – угол поворота вектора, соответствующего произведению

, где – соответствует нулю функции ;

– угол поворота вектора, соответствующего произведению , где – полюса функции .

Исходя из критерия Михайлова, для устойчивости разомкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы , а для устойчивости замкнутой , т.е. в этом случае .

То есть, если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы аргумент функции .

Из выражения (6.91) следует связь между функцией и передаточной функцией разомкнутой системы , которая может быть записана в частотной форме

. (6.92)

Отсюда следует, что вещественная часть функции отличается от вещественной части частотной функции разомкнутой системы на единицу, а мнимые части их равны.

Таким образом, годографом вектора функции будет АФЧХ разомкнутой системы, полюс которой смещен вдоль вещественной оси на единицу.

Условие устойчивости замкнутой системы будет выполняться, если АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами , рис. 6.20.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой ИСАУ не охватывала точку с координатами .

Запас устойчивости по амплитуде определяется как отношение, рис. 6.20:

, (6.93)

а запас устойчивости по фазе – как отношение угла до 180°.

, где – угол от оси по часовой стрелке до точки пересечения годографа c единичным радиусом.

Границе устойчивости соответствует прохождение АФЧХ разомкнутой ИСАУ через точку .

Для неустойчивой разомкнутой ИСАУ условие устойчивости замкнутой САУ по Найквисту будет звучать следующим образом:

Если разомкнутая ИСАУ неустойчива, то для того, чтобы замкнутая ИСАУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора разомкнутой ИСАУ охватывал точку с координатами .

6.8. Переходные процессы и анализ качества

импульсных САУ

Если этап анализа устойчивости позволяет сделать заключение о работоспособности импульсной системы, то в результате этапа анализа качества выявляются конкретные показатели и характеристики процессов управления в импульсных системах в типовых условиях функционирования.

Качественные показатели характеризуют точность и быстродействие системы. Методы их оценки основаны на исследовании реакций импульсных систем на типовые внешние воздействия, например, на единичную ступенчатую функцию, единичную импульсную функцию, гармоническую функцию.

Оценки качества регулирования также подразделяют на прямые и косвенные. Как известно, прямые оценки качества определяют непосредственно по кривой переходного процесса, а косвенные – расчетным путем.

Особенности импульсных систем сказываются на процедуре построения кривой переходного процесса, а также при расчетном определении статической точности системы.

Исследование точности регулирования импульсной системы можно производить, анализируя установившиеся режимы функционирования.

Здесь применимы методы определения коэффициентов ошибки, характеризующих качество управления в установившихся состояниях.

Прямой метод оценки качества ИСАУ

В непрерывных системах при подаче на вход сигнала ошибку определяют как

, (6.94)

где – весовая функция для сигнала ошибки (реакция САУ на единичную импульсную функцию – дельта функцию).

Если – аналитическая функция, то можно разложить в ряд Тейлора по степеням t (при малых t), т.е.

,

(6.95)

где Q – остаточный член, при .

Тогда ошибка системы

, (6.96)

где коэффициенты ошибки

(6.97)

В импульсных системах величина ошибки в дискретные моменты может быть получена из (6.94) при переходе от интеграла к сумме и замене на , т.е.

. (6.98)

Разложение в ряд Тейлора функции (6.98) имеет вид

(6.99)

В этом случае выражение для величины ошибки имеет следующий вид

, (6.100)

где коэффициенты ошибки

Косвенный метод оценки качества ИСАУ

Качество регулирования ИСАУ можно определить по такому показателю, как степень устойчивости h – расстояние до мнимой оси ближайшего к ней корня характеристического уравнения. По показателю степени устойчивости h в ряде случаев можно оценить быстроту затухания переходного процесса, поскольку h характеризует наиболее медленно затухающую компоненту переходного процесса. В отличие от непрерывных систем в импульсных системах при определении степени устойчивости возникает специфическая особенность, заключающаяся в возможности достижения конечной длительности переходного процесса или бесконечной степени устойчивости.

Поскольку степень устойчивости h определяется минимальным по абсолютной величине значением вещественной части полюсов замкнутой передаточной функции, то для минимального полюса имеем

, (6.101)

отсюда

(6.102)

и, следовательно, значение вещественной части при прочих равных условиях уменьшается с увеличением периода квантования Т в импульсной системе.

Суммарная оценка качества

Косвенными оценками качества работы ИСАУ, учитывающими не только длительность процесса, но и его форму, могут служить дискретные аналоги интегральных оценок – суммарные оценки. Простейшая суммарная оценка – линейная:

(6.103)

и представляет собой сумму значений решетчатой функции, получаемой на основе переходного процесса.

Такую оценку используют в случае монотонных переходных процессов.

В случае колебательных переходных процессов лучше пользоваться квадратичной суммарной оценкой, являющейся суммой квадратов значений решетчатой функции, соответствующей переходному процессу

(6.104)

6.8.1. Построение кривой переходного процесса в ИСАУ. Для анализа поведения ИСАУ при действии на них возмущающих воздействий в теории ИСАУ разработаны специальные методы, позволяющие без решения разностных уравнений определить реакцию системы на типовые возмущающие воздействия: мгновенный импульс типа d-функции обуславливает импульсную характеристику и единичное ступенчатое воздействие – переходную характеристику системы.

Последнее является наиболее тяжелым воздействием для системы. Поэтому можно предположить, что если переходная характеристика ИСАУ будет обладать удовлетворительными показателями качества, то и все остальные виды переходных процессов также будут соответствовать требуемым нормам.

Переходной характеристикой ИСАУ называется график изменения регулируемой величины системы во времени, если возмущающему воздействию на входе системы соответствует единичная ступенчатая решетчатая функция вида, рис. 6.21.

. (6.105)

Этой решетчатой функции, как нам известно, соответствует Z-преобразование вида

(6.106)

или D-преобразование Лапласа

(6.107)

В соответствии с формулами связи между координатами разомкнутой и замкнутой ИСАУ получим выражения для определения изображений управляемых величин

а) разомкнутая ИСАУ

(6.108)

б) замкнутая ИСАУ

(6.109)

Определив передаточные функции ИСАУ и подставив их в выражение (6.108), (6.109), получим формулы для изображения переходной характеристики. Применив к ним обратное преобразование Лапласа, получим оригинал, соответствующий переходной характеристике разомкнутой и замкнутой ИСАУ, табл. 6.4.

В некоторых случаях, когда переход от изображения переходной характеристики к оригиналу с помощью таблиц или непосредственно с помощью обратного D-преобразования затруднен, переходная характеристика может быть получена в виде значений коэффициентов разложений в степенной ряд изображения по степеням .

Из выражения видно, что может быть записана следующим образом

. (6.110)

Выполняя почленно обратное преобразование, можно получить выражение для переходной характеристики в виде

. (6.111)

Из определения d-функции, как импульса с единичной площадью, следует, что значения переходной характеристики для определяется как коэффициенты выражения (6.111).

Значения этих коэффициентов могут быть получены из выражений

(6.112)

Если представлена в виде двух полиномов от , то коэффициенты могут быть найдены из следующих соотношений

(6.113)

(6.114)

Из (6.113) видно, что если можно представить в виде (6.114), то значения переходной характеристики могут быть получены с помощью простого деления числителя на его знаменатель.

Наиболее рациональным методом построения кривой переходного процесса является графоаналитический метод, который позволяет определить переходный процесс по частотным характеристикам и аналогичен методу, применяемому в непрерывных САУ:

. (6.115)

Затем, используя метод трапецеидальных характеристик, график вещественной частотной характеристики можно представить в виде суммы элементарных трапеций

. (6.116)

Типовая трапецеидальная характеристика и ее параметры приведены на рис. 6.22. Подставив в формулу (6.115) выражение (6.116), получим после преобразования

(6.117)

где

Коэффициент изменяется от 0 до 1.

Пользуясь значениями функции или номограммой, представленной на рис. 6.23 и формулой (6.117), рассчитывают импульсную переходную функцию САУ, с помощью которой можно построить кривую переходного процесса при любом воздействии.

Для единичного управляющего ступенчатого воздействия переходный процесс находится в результате суммирования импульсной характеристики

(6.118)