Интегрирование простейших дробей

Простейшими (элементарными)дробями называются правильные дроби следующего вида:

I.

II. , где m – целое число, большее единицы;

III. , где , т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

IV. , где n – целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, а – действительные числа.

Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, и IV типов.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем

I.

II.

III.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа получаем

или

где , (здесь ), откуда

Например, найдем интеграл

Выделим полный квадрат в знаменателе дроби и проинтегрируем:

Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа.

Требуется найти .

Выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

Тогда

В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому

так как для любого значения х.

Второй интеграл, как уже был отмечено, находится по формуле

Итак,

Например, найдем интеграл

Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV типа.

Требуется найти

Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:

Первый интеграл в правой части равенства легко находится с помощью подстановки , а второй преобразуем так:

Полагая теперь , и обозначая , получаем

Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть выполнено с помощью рекуррентной формулы.