Задание 4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение: Преобразуем :

(*)

Разложим в ряд Маклорена, заменяя на в известном разложении . Получаем:

.

Подставляя полученное разложение в (*) и возвращаясь к переменной получаем:

,

;

– интервал сходимости.

Задание 5. Записать комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах записи. Найти: 1) ; 2)

Решение. а) – алгебраическая форма записи комплексного числа

Находим модуль и аргумент комплексного числа . Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа

– показательная форма записи комплексного числа

б) – алгебраическая форма записи комплексного числа

Находим модуль и аргумент комплексного числа . Здесь , Значит,

– тригонометрическая форма записи числа

– показательная форма записи комплексного числа

в) – алгебраическая форма записи комплексного числа

Находим модуль и аргумент комплексного числа :

Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа

– показательная форма записи комплексного числа

Найдём:

1)

, т.е. получили комплексное число с действительной частью и мнимой частью

2)

, т.е. получили в результате комплексное число с действительной частью и мнимой частью

Задание 6. Найти все значения корней: .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме. Здесь

Поэтому

.

Используя формулу

находим:

где

Полагая получим:

Задание 7. Для заданной функции найти действительную и мнимую части, т.е. представить функцию в виде

Решение. Учитывая, что , получаем:

т.е.

Задание 8. Записать в алгебраической форме комплексное число

Решение. Используя формулу имеем:

Задание 9. Даны функции комплексного переменного и . Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти

Решение. а)Имеем:

, так что

Для функций и найдём частные производные:

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

и удовлетворяются только в одной точке

Следовательно, функция дифференцируема только в точке и нигде не аналитична.

Таким образом,

б) Имеем:

, так что

Для функций и найдём частные производные:

Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид:

и выполняются во всех точках. Значит, функция всюду аналитическая. Тогда

Итак,

Задание 10. Восстановить аналитическую функцию по известной мнимой части и дополнительному условию

Решение. Имеем: По первому из условий Коши-Римана должно быть так что

Отсюда где функция пока неизвестна.

Дифференцируя по и используя второе из условий Коши-Римана, получим:

а так как то

отсюда где

Итак, и, следовательно,

Таким образом, Постоянную найдём из условия т.е. , отсюда

Итак,

Варианты заданий контрольной работы № 8

Таблица 1. Варианты задания 1

	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г) .
	а) ; б) ; в) ; г) .		а) ; б) ; в) ; г)
	а) ; б) ; в) ; г)		а) ; б) ; в) ; г) .

Таблица 2. Варианты задания 2

Таблица 3. Варианты задания 3

Таблица 4. Варианты задания 4

	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		.
			.
	.		.
	.		.

Таблица 5. Варианты задания 5

№
9

Таблица 6. Варианты задания 6

Таблица 7. Варианты задания 7

Таблица 8. Варианты задания 8

Таблица 9. Варианты задания 9

№

Таблица 10. Варианты задания 10