П р и м е р 2.10

Вычислим этот же определитель разложением по третьему столбцу:

Разложение можно производить по любой строке или столбцу, поэтому предпочтительно выбирать строку (столбец), содержащие нули, причем разложение тем проще, чем больше нулей в выбранной строке (столбце)

Разложим тот же самый определитель по второму столбцу.

Теорема о разложении определителя позволяет свести вычисление определителя n -го порядка к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. При этом, пользуясь вышеизложенными свойствами, следует так преобразовать определитель, чтобы элементы его выбранной для разложения строки (столбца) обратились в нули (за исключением одного (если определитель не равен нулю).

П р и м е р 2.11. Вычислить определитель

Выберем элемент (удобно, когда в определителе есть элемент, равный единице) и получим на месте остальных элементов второго столбца нули. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на число 2, к третьей строке прибавим первую, к четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 6; получим

Разложим полученный определитель по элементам второго столбца (см. формулу 2.4). В этом разложении останется лишь одно слагаемое, равное произведению элемента на его алгебраическое дополнение , т.к. все остальные элементы столбца равны нулю.

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или подобным же путем свести к вычислению одного определителя второго порядка. Прибавим к первому столбцу второй столбец, получим

Затем прибавим ко второму столбцу первый столбец, умноженный на 3. Во второй строке останется единственный отличный от нуля элемент. Разложим определитель по второй строке, получим

Воспользуемся свойством 5, а затем вычислим полученный определитель второго порядка по формуле (2.2)