Решение. а) Перепишем первое уравнение в виде . Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений

.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Обозначим , , . Найдём , , . Для этого представим каждое из чисел z₁, z₂, z₃ в показательной форме: , , ;

, , ;

, ,

.

Имеем

.

Наше уравнение принимает вид или ; ; ; ; .

Таким образом, корни исходного уравнения являются корнями третьей степени числа . Имеем , . Найдём наши корни по формуле , k = 0, 1, 2.

Отсюда получаем

,

,

.

Числа w₀, w₁, w₂ (записанные в тригонометрической форме) и являются решением нашего уравнения. Найдём показательную и алгебраическую формы этих чисел:

, , – показательная форма.

, , – алгебраическая форма.

Пример 5. Решить: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически):

а)

б) ;

в) .

Решение. а) Перепишем первое уравнение в виде. Из геометрического смысла модуля разности двух комплексных чисел следует, что множество решений

этого уравнения задаёт окружность радиусом 1 с центром в точке . Аналогично находим, что решением уравнения является окружность радиусом 1 с центром в точке (1 + 2i). Решением нашей системы уравнений являются точки пересечений этих окружностей.

Запишем z в алгебраической форме: z = x + yi.

Тогда

Отсюда, вычитая из первого уравнения второе, получим и находим x = 3/2. Подставив это значение в первое уравнение, найдём y: ; , . Таким образом, решениями нашей системы являются числа , .

б) Представление z в алгебраической форме приводит нас к неравенству x £ y. Решением этого неравенства является замкнутая полуплоскость (заштриховано).

в) Перепишем неравенство в виде

.

Учитывая, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости, приходим к выводу, что решением этого неравенства является кольцо с центром в точке (2 – 3i), внутренний радиус которого равен 1, а внешний равен 2.

2. Многочлены

Многочленом (или полиномом) степени , называется функция

, (10)

где – известные комплексные числа (коэффициенты), при этом старший коэффициент отличен от 0, z – переменная комплексная величина. Степень многочлена f(z) обозначается deg f(z).

На множестве всех многочленов очевидным образом вводятся операции сложения и умножения. Число z₀ называется нулём многочлена f(z), если f(z₀) = 0.

Теорема 1 (о делении многочленов). Для любых многочленов f(z) и g(z) существуют многочлены h(z) и r(z) такие, что:

1) f(z) = h(z) g(z) + r(z),

2) deg r(z) < deg g(z).

При этом h(z) и r(z) определяются однозначно.

Многочлен h(z) называется частным, а r(z) – остатком от деления f(z) на g(z). При этом оказывается, что deg f = deg g + deg h. Если r(z) º 0, то говорят, что f(z) делится на g(z).

Теорема 2. Число z₀ является нулём многочлена f(z) в том и только в том случае,если f(z) делится на линейный многочлен (z – z₀).

Число z₀ называется нулём кратности m многочлена f(z), если f(z) делится на (z – z₀)^m и не делится на (z – z₀)^m+1. Можно дать другое, равносильное приведённому, определение: z₀ является нулём кратности m для многочлена f(z), если f(z) представим в виде

f(z) = (z – z₀)^m g(z), где g(z) – такой многочлен, что g(z₀) ¹ 0.

Теорема 3 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени n ³ 1 имеет ровно n нулей, если каждый нуль считать столько раз, какова его кратность.

Следствием основной теоремы алгебры является то, что если z₁, z₂, …, z_m – нули многочлена (1) кратностей k₁, k₂, …, k_m соответственно, то f(z) представим в виде

,

при этом , k₁ + k₂ + … +k_m = n.

Для того чтобы несократимая дробь (p – целое, q – натуральное) была нулём многочлена f(z) с целыми коэффициентами a_j, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена a_0, а число q – делителем старшего коэффициента а_n. В частности, если f(z) имеет целые коэффициенты a_j и a_n = 1, то рациональными нулями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена a₀.

Теорема 4. Если коэффициенты многочлена f(z) – действительные числа и – нуль f(z), то `z₀ = a – ib также является нулём этого многочлена.

Из последней теоремы следует, что если f(z) – многочлен с действительными коэффициентами, то он представим в виде

, (11)

где z_j , p_j , q_j – действительные числа и квадратичные функции неразложимы (т.е. имеют отрицательный дискриминант), при .

При этом k₁ + k₂ + … + k_m + 2(r₁ + r₂ + … + r_s) = n.

Если f(z), g(z) – многочлены, то функция называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если deg g(z) < < deg f(z). Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Если – правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами и f(z) имеет разложение (3), то h(z) допускает следующее представление в виде суммы простейших дробей:

. (12)

Коэффициенты находятся путём приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях z у многочлена g(z) и многочлена, который получается в числителе правой части (11) после приведения суммы к общему знаменателю (метод неопределённых коэффициентов).

Пример 6. Найти все нули многочлена и разложить его на неразложимые множители с действительными коэффициентами, если известен один его нуль .

Решение. f(z) имеет действительные коэффициенты, поэтому наряду с z₁ = 2+i нулём f(z) является также z₂ = = 2–i. Значит, f(z) делится на .

Разделим f(z) на уголком

Таким образом, . Найдём нули второго множителя: z² + 2z + 10 = 0, z_3,4 = –1 ± 3i.

Итак, нулями многочлена f(z) являются: z₁ = 2 + i, z₂ = 2 – i,

z₃ = –1 – 3i, z₄ = –1 + 3i. Многочлен f(z) разлагается на неразложимые множители (квадратные функции с отрицательными дискриминантами) следующим образом:

z⁴ – 2z³ + 7z² – 30z + 50 = (z² – 4z + 5)(z² +2z +10).

Пример 7. Дан многочлен f(z) = z⁴ – 6z³ + 10z² + 2z – 15:

а) подобрать целые нули многочлена среди делителей свободного члена;

б) разложить f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами;

в) разложить f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами;

г) разложить дробь (2z – 3) / f(z) на простейшие дроби с действительными коэффициентами.

Решение. а) Делителями числа 15 являются: ±1, ±3, ±5, ±15.

В результате проверки убеждаемся, что z₁ = –1 является нулём f(z):

f(–1) = 0. Следовательно, f(z) делится на (z – z₁) = z + 1. Выполним деление

Имеем: f(z) = (z + 1) (z³ – 7z² +17z – 15). Найдём целые нули второго множителя среди делителей свободного члена (–15): ±1; ±3; ±5; ±15.

В результате проверки убеждаемся, что является нулём многочлена (z³ – 7z² +17z – 15) и, следовательно, многочлена f(z). Значит, f(z) делится на (z – z₁) (z – z₂) = (z + 1) (z – 3) = z² – 2z – 3. Разделим f(z) на этот квадратный трёхчлен:

Таким образом, f(z) = (z² – 2z – 3)(z² – 4z + 5). При этом второй множитель (z² – 4z +5) не имеет целых (и даже действительных) нулей. Итак, f(z) имеет лишь два целых нуля: z₁ = –1 и z₂ = 3.

б) Так как z² – 4z + 5 = 0 имеет лишь комплексные нули и , то искомым разложением будет уже полученное .

в) f(z) имеет 4 однократных (говорят, простых) нуля: z₁ = –1, z₂ = 3,

z₃ = 2 – i, z₄ = 2 + i. Старший коэффициент f(z) равен 1. Поэтому

f(z) = (z – z₁)(z – z₂)(z – z₃)(z – z₄) или f(z) = (z + 1)(z – 3)

(z – 2 + i)(z –2– i).

г) Дробь (2z – 3)/f(z) является правильной. Имеем

.

Приведём последнюю сумму к общему знаменателю:

Так как f(z) равен знаменателю левой части, то получим равенство

A(z –3)(z²– 4z +5) + B(z + 1)(z²– 4z +5) + (Cz + D)(z +1)(z – 3) 2z – 3.

Неизвестные коэффициенты А, В, С, D можно найти, раскрыв скобки в левой части, сгруппировав слагаемое по степеням z и приравняв соответствующие коэффициенты в левой и правой частях равенства, при этом получится система из 4-х линейных алгебраических уравнений:

(A + B + C)z³ + (– 7A – 3B – 2C + D)z² + (17A + B – 3C – 2D)z +

+(–15A + 5B – 3D) = 2z – 3.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получаем систему

Решая её, находим A = 1/8, B = 3/8, C = –1/2, D =1. Итак, .

Задание 1.1

Найдите сумму, произведение и частное чисел.

1) z1= –2 + i, z2 = 4 – 3i;	16) z1= 6 – i, z2 = –2 + 3i;
2) z1= 3 – 2i, z2 = 2 + 5i;	17) z1= –3 + i, z2 = –1 – 3i;
3) z1= –4 + i, z2 = 5 – 2i;	18) z1= 2 + 4i, z2 = –5 – 3i;
4) z1= –1 + 3i, z2 = –3 + 2i;	19) z1= –3 + 4i, z2 = 5 + 4i;
5) z1= 7 + 2i, z2 = –6 – i;	20) z1= 1 – 5i, z2 = –4 – i;
6) z1= 4 + 3i, z2 = –2 + 5i;	21) z1= –5 + 4i, z2 = 2 –i;
7) z1= –2 – 3i, z2 = 3 – 4i;	22) z1= –4 + 5i, z2 = 1 + 6i;
8) z1= 2 + i, z2 = –3 – 2i;	23) z1= –2 – 5i, z2 = 5 – 4i;
9) z1= –3 – 4i, z2 = 1 – 3i;	24) z1= 3 + 4i, z2 = –2 – i;
10) z1= 2 + 3i, z2 = –4 – 2i;	25) z1= 3 + 2i, z2 = –5 – i;
11) z1= 5 + i, z2 = – 4 – 3i;	26) z1= –1 + 5i, z2 = 3 – i;
12) z1= –6 + i, z2 = –2 – 2i;	27) z1= 1 – 2i, z2 = –2 + 6i;
13) z1= –5 + 3i, z2 = –5 – 2i;	28) z1= 1 + 3i, z2 = –5 + i;
14) z1= 2 – 4i, z2 = –3 + 5i;	29) z1= –6 – 2i, z2 = 4 + 5i;
15) z1= –4– 5i, z2 = 4 + 2i;	30) z1= –5 – 4i, z2 = 6 + 2i.

Задание 1.2

Решите уравнения.

1) 2z² + 3z + 4 = 0; 16) 2z² + 5z + 7 = 0;

2) z² – 2z + 2 = 0; 17) –4z² – 4z – 3 = 0;

3) z² + 5z + 8 = 0; 18) 3z² + 2z + 9 = 0;

4) z² – 4z + 13 = 0; 19) 4z² + z + 2 = 0;

5) –z² + z – 2 = 0; 20) –z² – z – 3 = 0;

6) z² – 2z + 7 = 0; 21) 2z² – 4z + 5 = 0;

7) 2z² – 2z + 5 = 0; 22) 6z² – z + 1 = 0;

8) –2z² – z – 1 = 0; 23) –3z² + 2z – 1= 0;

9) z² – 6z + 10 = 0; 24) –2z² – 8z – 15 = 0;

10) 4z² – 2z + 1 = 0; 25) z² – 2z + 7 = 0;

11) 2z² + z + 5 = 0; 26) –6z² – z – 1 = 0;

12) 5z² + z + 1 = 0; 27) 2z² + 6z + 11 = 0;

13) –3z² + 4z – 2 = 0; 28) –3z² + 6z – 10 = 0;

14) z² – 4z + 20 = 0; 29) 4z² – 8z + 13 = 0;

15) –6z² + 4z – 3 = 0; 30) z² + 4z + 17 = 0.

Задание 1.3

Выполните действия. Ответ запишите в алгебраической форме.

;

Задание 1.4

Решите уравнение. Запишите ответ в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

1) ; 2) ;

3) ; 14) ;

4) ; 15) ;

5) ; 16) ;

6) ; 17) ;

7) ; 18)

8) ; 19) ;

9) ; 20) ;

10) ; 21) ;

11) ; 22) ;

12) ; 23) ;

13) ; 24) ;

25) ; 28) ;

26) ; 29) ;

27) ; 30) .

Задание 1.5

Решите: а) систему уравнений; б), в) неравенства (геометрически).

1. a) б) ; в) ;

2. a) б) ; в) ;

3. a) б) ; в) ;

4. a) б) ; в) ;

5. a) б) ; в) ;

6. a) б) ; в) ;

7. a) б) ; в) ;

8. a) б) ; в) ;

9. a) б) ; в) ;

10. a) б) ; в)

11. a) б) ; в) ;

12. a) б) ; в)

13. a) б) ; в)

14. a) б) ; в)

15. a) б) ; в) ;

16. a) б) ; в) ;

17. a) б) ; в)

18. a) б) ; в) ;

19. a) б) ; в)

20. a) б) ; в)

21. a) б) ; в)

22. a) б) ; в) ;

23. a) б) ; в) ;

24. a) б) ; в)

25. a) б) ; в)

26). a) б) ; в) ;

27. a) б) ; в)

28. a) б) ; в)

29. a) б) ; в)

30. a) б) ; в)

Задание 1.6

Найдите все нули многочлена и разложите его на неразложимые множители с действительными коэффициентами, если известен один из его нулей z₁.

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , ;

21) , ;

22) , ;

23) , ;

24) , ;

25) , ;

26) , ;

27) , ;

28) , ;

29) , ;

30) , .

Задание 1.7

Даны многочлены f(z) и g(z): а) подберите нули многочлена f(z) среди делителей свободного члена; б) разложите f(z) на линейные и неразложимые квадратичные множители с действительными коэффициентами; в) разложите f(z) на линейные множители с комплексными коэффициентами; г) разложите дробь g(z)/f(z) на сумму простейших дробей с действительными коэффициентами.

1) f(z) = z⁴ – 3z³ + z² + 4, g(z) = z² – 2z – 3;

2) f(z) = z⁴ – 4z³ + 2z² + z + 6, g(z) = z² – 2z – 4;

3) f(z) = z⁴ – 5z³ + 3z² +2 z + 8, g(z) = z² – 3z – 5;

4) f(z) = z⁴ – 2z² – 3 z – 2, g(z) = z² + z – 2;

5) f(z) = z⁴ – 6z³ + 4z² + 3z + 10, g(z) = z² – 5z – 6;

6) f(z) = z⁴ – z³ – 4z² – 5z – 3, g(z) = z² – 3z – 5;

7) f(z) = z⁴ – 7z³ + 5z² + 4z + 12, g(z) = z² – 6z – 5;

8) f(z) = z⁴ – 2z³ – 6z² – 7z – 4, g(z) = z² – 4z – 6;

9) f(z) = z⁴ – 3z³ – 8z² – 9z – 5, g(z) = z² – 5z – 7;

10) f(z) = z⁴ – 4z³ – 10z² – 11z – 6, g(z) = z² – 6z – 8;

11) f(z) = z⁴ – z³ – 2z² – 2z + 4, g(z) = z² – 2z – 3;

12) f(z) = z⁴ – 3z³ – 2z² + 2z + 12, g(z) = z² – 3z – 3;

13) f(z) = z⁴ – 2z³ – 3z² – 2z + 6, g(z) = z² – 3z – 2;

14) f(z) = z⁴ – 4z³ – 2z² + 4z + 16, g(z) = z² – 4z – 2;

15) f(z) = z⁴ – 3z³ – 4z² – 2z + 8, g(z) = z² + 4z –2;

16) f(z) = z⁴ – 5z³ – 2z² + 6z + 20, g(z) = z² – 5z – 5;

17) f(z) = z⁴ – 4z³ – 5z² – 2z + 10, g(z) = z² – 5z – 6;

18) f(z) = z⁴ – 6z³ – 2z² + 8z + 24, g(z) = z² – 6z –6;

19) f(z) = z⁴ + 3z³ + 2z² – 2z – 4, g(z) = z² – z – 3;

20) f(z) = z⁴ – 5z³ – 6z² – 2z + 12, g(z) = z² – 6z – 6;

21) f(z) = z⁴ + 2z³ – 2z² – 8z – 8, g(z) = z² – 2z – 4;

22) f(z) = z⁴ + z³ – 6z² – 14z – 12, g(z) = z² – 3z – 3;

23) f(z) = z⁴ – 3z³ + 4z² – 3z + 1, g(z) = z² – z – 3;

24) f(z) = z⁴ – z³ – 3z² + 4z – 4, g(z) = z² – 2z – 4;

25) f(z) = z⁴ – 4z³ + 6z² – 5z + 2, g(z) = z² – 2z + 4;

26) f(z) = z⁴ – 2z³ – 4z² + 5z – 6, g(z) = z² – 3z + 3;

27) f(z) = z⁴ – 5z³ + 8z² – 7z + 3, g(z) = z² + 3z – 3;

28) f(z) = z⁴ – 3z³ – 5z² + 6z – 8, g(z) = z² – 4z – 4;

29) f(z) = z⁴ – 6z³ + 10z² – 9z + 4, g(z) = z² + 4z – 4;

30) f(z) = z⁴ – 4z³ – 6z² + 7z – 10, g(z) = z² – 5z – 5.