Выбор схемы прокладки пригородных поездов на графике по минимуму пассажиро-часов ожидания

На прямолинейном направлении, включающем п станций формирова­ния и оборота пригородных поез­дов, задана схема их прокладки за некоторый период. Требуется опре­делить интервалы следования между поездами, при которых достигается минимальное количество пассажиро-часов ожидания по начальной станции (как возможный вариант в целом по направлению). Зависи­мость пассажиропотока от времени принять линейной.

В системе координат t, А (время, пассажиропоток) пассажиро-часы ожидания численно равны площади, ограниченной кривой нарастающего итога пассажиропотока и ступенча­той линией, характеризующей при­нятое расписание (рис. 39.5). Если вводить кривую нарастающего ито­га пассажиропотока асимптотически в виде приближенной зависимости от времени, то площадь Ф, ограни­ченная ступенчатой линией и осью абсцисс, будет функцией искомых значений времени отправления, за­висящей от вида аппроксимирую­щей кривой.

Минимум пассажиро-часов ожи­дания или максимум площади Ф можно определить, приравняв к нулю частные производные этой функции по t_i, причем i (число независимых переменных) на единицу меньше заданного числа проездных единиц. Значения интервалов между поездами будут найдены решением полученной таким образом системы уравнений. При линейной зависимо­сти пассажиропотока от времени получается система линейных алге­браических уравнений, решение ко­торой определяет такие значения точек отправления, при которых до­стигается минимум площади, огра­ниченной прямой и ступенчатыми линиями, выражающими потреб­ность в отправлении и предлагаемое отправление.

Если линия нарастающего итога пассажиропотока может быть выра­жена линейной зависимостью от времени, то площадь ступенчатой фигуры при отправлении трех поез­дов (см. рис. 39.5) составит:

,

где , – соответственно интервалы между отправлением первого и второго поездов в долях рассматриваемого при­мера; к – коэффициент пропорциональ­ности в линейной зависимости пасса­жиропотока от времени.

Рисунок 39.5 – Определение пассажиро-часов ожидания пригородных поездов

Тогда неизвестные и определятся из выражений:

;

;

откуда t ₁ = 1/3; t ₂ = 2/3, т. е. в слу­чае линейной зависимости пассажи­ропотока от времени целесообразно равномерное распределение поезд­ных единиц в рассматриваемом пе­риоде независимо от темпа накопле­ния струи пассажиропотока. Если число зонных станций больше двух, то между переменными есть допол­нительные связи, выражающиеся в том, что для данного варианта пла­на формирования могут быть при­няты дополнительные условия, чис­ло которых равно числу транзитных поездов. Тогда минимум пассажиро-часов можно определить методом неопределенных множителей Лагранжа.

для станцииI A1 = k1t;

для станции II А2 = k2t;

для станции III A3 = k3t.

Пример. На направлении с четырьмя станциями пассажиропотоки линейно зависят от времени. Для заданной схемы прокладки требуется найти периоды отправления, при которых достигается минимум пассажиро-часов ожидания. Зависимости, характеризую­щие изменение пассажиропотока от времени.

Абсолютная величина времени суток зна­чения не имеет, так как пассажиро-часы рас­считываются в интервалах между отправле­нием поездных единиц. Тогда уравнения примут вид:

по станции I

;

по станции II

;

по станции III

.

Дополнительное условие .

Функция Лагранжа имеет вид

.

Далее получаем систему уравнений:

;

;

;

.

Так как определитель отличен от нуля, система совместна и имеет одно решение, корни выражены формулами Крамера:

; ; .

Полученные значения неизвестных выра­жаются только через к ₁,к₂, т.е. являются функцией темпа накопления струй пассажиро­потоков. Для условий рассматриваемого при­мера:

;

.

Рассматриваемый пример рас­считан в условиях, когда зависи­мость пассажиропотока от времени линейна для всех назначений струй. Если такая зависимость соответст­вует каждой струе пассажиропотока, определить время отправления мож­но тем же методом с некоторым изменением условий.