Примеры. Глава 2 Осевое растяжение–сжатие

Глава 2 Осевое растяжение–сжатие

Теоретическая и методическая информация.

примеры

2.1.1 Эпюры продольной силы

В случае осевого растяжения–сжатия в поперечных сечениях стержня возникает единственное внутреннее усилие – продольная сила N.

Для определения внутренних усилий в стержне применяется метод сечений, состоящий из следующих действий: рассекаем стержень сечением, перпендикулярным оси, отбрасываем одну из его частей, заменяем действие отброшенной части на оставленную усилием и уравновешиваем рассматриваемую часть стержня.

Эту последовательность действий легко запомнить с помощью аббревиатуры РОЗУ, образованной из первых букв выделенных в тексте слов.

Для построения эпюры N необходимо выполнить такие действия:

1) определить (если это необходимо) опорные реакции;

2) определить число участков;

3) для каждого из участков записать функцию продольной силы и построить ее график, т. е. эпюру N.

Рис. 2.1

Пример 2.1.1. Дано: F ₁ = 3 кН; F ₂ = 5 кН; g =78,5 кН/м³; а = 3 м; b = 2 м; A ₁ = 10 см²; A ₂ = 20 см² (рис. 2.1).

Построить эпюру N.

Решение. 1. Определение реакции в заделке R_В. Уравнение равновесия стержня:

2. Участком называют часть стержня, на которой характер нагружения и функция продольной силы от z остаются неизменными. В данном примере стержень имеет два участка.

3. Составим функции продольной силы на каждом участке и построим эпюру N.

1-й участок. Мысленно рассекаем стержень в пределах первого участка сечением, имеющим координату z ₁. Функцию продольной силы определяем из условия равновесия нижней части стержня. Изобразим отсеченную часть (рис. 2.2, а, б).

Рис. 2.2

Продольную силу N в рассеченном стержне надо всегда показывать растягивающей, т. е. направленной от узла, от сечения. Тогда при определении продольной силы из условий равновесия она будет получаться положительной при растяжении стержня и отрицательной при сжатии, как это и установлено правилом знаков для внутренних усилий.

Функция N ₁ линейная, следовательно, для построения эпюры продольной силы в пределах первого участка достаточно определить два значения функции N ₁, например в начале и конце участка:

2-й участок. Проводим сечение на втором участке и из условия равновесия отсеченной части (рис. 2.2, а, в) находим выражение для N ₂:

;

Продольная сила N ₂ – линейная. Определяем N ₂ в начале и в конце второго участка:

z ₂ = 2 м; N ₂ = 2,157 + 0,157(2 – 2) = 2,157 кН;

z ₂ = 5 м; N ₂ = 2,157 + 0,157(2 + 3 – 2) = 2,157 + 0,471 = 2,628 кН.

По результатам подсчетов строится эпюра продольной силы по длине стержня. Ординаты на эпюре откладываются в масштабе (рис. 2.2, г). Скачки на эпюре N должны быть равны величине сосредоточенных сил, приложенных в сечениях.

Из решения видно, что если рассматривать равновесие отсеченной части со стороны свободного конца стержня, то реакцию R_В можно не определять предварительно. Она получится автоматически как ордината эпюры N в защемлении.

Решение уравнений равновесия отсеченных частей стержня позволяет заметить, что продольная сила в сечении равна сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть, т. е. по одну сторону от проведенного сечения. Знак слагаемых при этом берется плюс, если сила вызывает растяжение, минус – в случае сжатия.

Учитывая это, в дальнейшем можно составлять выражения для продольной силы на каждом из участков, не изображая отсеченные части и не составляя уравнение равновесия для них.

Пример 2.1.2. Дано: q = 10 кН/м; F = 40 кН; а = 1 м; a = 30^о;
CL – абсолютно жесткий стержень (рис. 2.3).

Найти продольные силы N в стержнях 1 и 2.

Рис. 2.3

Решение. 1. Определение опорных реакций:

кН;

кН;

Проверка:

2. В опорном стержне АЕ – один участок, в стержне DK – два участка.

3.Определение продольной силы N. Рассекаем стержень АЕ и из уравнения равновесия нижней части находим (рис. 2.4, а):

кН.

Рис. 2.4

Продольная сила по длине стержня АЕ постоянна, и она растягивающая.

Стержень DK рассекаем в пределах первого участка и из уравнения равновесия нижней части определяем N ₁ (рис. 2.4, б):

кН.

На втором участке (рис. 2.4, в),

кН.

В пределах каждого из участков второго стержня эпюра N имеет постоянное значение (рис. 2.4, г). В сечениях стержня, где действуют силы R ₂ и F в эпюре N, наблюдаются ступенчатые изменения, равные по величине приложенным силам.

2.1.2 Продольные силы в стержнях фермы

Пример 2.1.3. Дано: h = 3 м; d = 4 м; F = 10 кН.

Определить усилия в стержнях фермы (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Решение. 1. Определение опорных реакций:

кН;

кН;

.

Проверка: .

2. Определение усилий в стержнях ферм.

Предварительно пронумеруем узлы фермы (рис. 2.6, а). Проведем сечение I–I, продольные силы в рассеченных стержнях предполагаем растягивающими, т. е. положительными. Из уравнений равновесия, составленных для узла 0 (рис. 2.6, б), определяем усилия в стержнях 0–1 и 0–7:

;

кН;

кН.

Рис. 2.6

Для определения усилий N _7-1 и N _7-6 «вырежем» узел 7 (рис. 2.6, в):

кН;

кН.

Проведем сечение II–II (рис. 2.6, а) и из уравнения равновесия левой отсеченной части определим усилия N _1-2 и N _1-6 (рис. 2.6, г):

кН;

кН.

Для определения N _2-6 «вырежем» узел 2 (рис. 2.6, д):

Проведем сечение III–III (см. рис. 2.6, а) и из уравнений равновесия правой отсеченной части (рис. 2.6, е) определим усилия N _2-3, N _3-6, N _5-6:

кН;

кН;

кН.

«Вырежем» узел 5 (рис. 2.6, ж) и определим усилие N _3-5:

.

Проведем сечение IV–IV и из уравнений равновесия правой отсеченной части определим усилия N _3-4 и N _4-5 (рис. 2.6, з):

кН;

кН.

2.1.3 Напряжения, подбор сечения и деформации при осевом растяжении–сжатии стержней

Расчетные формулы:

для определения напряжения в поперечном сечении и условие прочности при растяжении (сжатии):

,

где – допускаемое напряжение; – наиболее ослабленное поперечное сечение;

для определения изменения длины на участке z:

,

здесь Е – модуль продольной упругости;

частные случаи:

1)

2)

,

здесь площадь эпюры N на участке стержня длиной z;

A, A _нетто – площадь в любом и в наиболее ослабленном поперечном сечении стержня соответственно;

– изменение длины стержня на участке от 0 до z;

l – длина стержня или его участка.

Пример 2.1.4. Дано: деревянный брус (рис. 2.7, а); F ₁ = 10 кН; F ₂ = 30 кН; q = 2 кН/м; а = 2 м; b = 3 м; A ₁ = 30 cм²; A ₂=60 cм²; Е = МПа.

Требуется построить эпюру N и эпюру изменения нормальных напряжений вдоль оси бруса, найти перемещение сечения I–I.

Решение. Стержень имеет два участка. Проводим на каждом из них сечение и составляем уравнения для продольной силы:

кН;

кН.

На первом участке N ₁ меняется линейно от минус 10 кН до минус 14 кН, на втором участке N ₂ – постоянная величина 16 кН. Строим по этим данным эпюру N (рис. 2.7, б).

Рис. 2.7

Находим напряжения в сечениях z ₁ и z ₂:

при z ₁ = 0 = МПа; при z ₁ = а = 2 м = МПа;

МПа.

Эпюра по длине стержня представлена на рисунке 2.7, в.

Определяем перемещение верхнего сечения:

,

где – изменение длины верхнего и нижнего участков стержня.

В пределах каждого из участков жесткости EA ₁ и EA ₂ остаются постоянными, поэтому

где – площади эпюры N на участках a и b соответственно.

Подсчет показал, что участок b удлинился, а участок a укоротился на одну и ту же величину. Таким образом, перемещения верхнего сечения не произошло.

Пример 2.1.5. Дано: материал колонны (рис. 2.8, а) – бетон;
F ₁ = 600 кН; F ₂ = 1000 кН; γ = 20 кН/м³; а = 5 м; b = 12 м;
Е = 1,5 × 10⁴ МПа; = 5 МПа.

Рис. 2.8

Требуется подобрать площадь сечения каждого из участков колонны A_a, A_b, построить эпюры изменения продольной силы N и напряжения σ по длине колонны; найти перемещение сечения I–I.

Решение. Составим уравнение для продольной силы в произвольном сечении каждого из двух участков:

(*)

,

где N ₁ и N ₂ – линейно изменяющиеся функции. Наибольшее по модулю усилие на каждом из участков получим соответственно при z ₁ = b и z ₂ = а.

C другой стороны, из условия прочности имеем Следовательно,

м²;

м².

По зависимостям (*), учитывая найденные значения A_a и A_b, подсчитаем ординаты эпюры N:

Эпюра N представлена на рисунке 2.8, б. Для построения эпюры нормальных напряжений надо ординаты эпюры N на участке b уменьшить в A_b раз, а на участке a – в A_а раз.

МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

Эпюра σ представлена на рисунке 2.8, в.

Находим перемещение сечения I–I. Оно равно укорочению всего стержня. Учитывая постоянство EA_b и EA_a на каждом из двух участков, получаем:

Знак минус означает, что произошло укорочение стержня.

Ответ. A_a = 0,333 м²; A_b = 0,126 м²; мм.

Пример 2.1.6. Дано: стержни 1, 2, 3 (рис. 2.9) – стальные; балка DВ – абсолютно жесткая; F ₁ = 30 кН; F ₂ = 70 кН; а = 1 м; b = 2 м; с = 2 м; МПа.

Требуется подобрать площадь поперечного сечения стержней 1, 2, 3 (A ₁, A ₂, A ₃).

Решение. «Вырезаем» балку DВ, показываем силы, действующие на нее, и из уравнений равновесия находим усилия N ₁, N ₂, N ₃ (рис. 2.10).

Рис. 2.9

Рис. 2.10

1)

2)

3)

Из 2)

кН;

из 3)

кН;

из 1)

кН.

Из условия прочности при растяжении–сжатии

м = 1,73 см²;

м² = 3,25 см²;

м² = 3,46 см².

Ответ. A ₁ = 1,73 см²; A ₂ = 3,25 см²; A ₃ = 3,46 см².

Пример 2.1.7. Дано: стержень 1 (рис. 2.11) – стальной, круглого сечения d ₁ = 20 мм, МПа; стержень 2 – медный, квадратного сечения (20´20) мм, МПа; α = 30^о.

Требуется определить допустимую нагрузку .

Рис. 2.11

Решение. «Вырезаем» узел B и из условия его равновесия находим:

1)

2)

Из условия прочности стержней 1 и 2 найдем допускаемые значения продольных сил:

кН;

кН.

Так как усилия в стержнях 1 и 2 должны быть одинаковыми, то для определения допускаемой нагрузки необходимо выбрать наименьшее из найденных двух значений т. е.

кН.

При этом продольные усилия в стержнях будут кН, а напряжения в них

МПа < МПа;

МПа = .

То есть стержень 1 оказался недогруженным, а несущая способность стержня 2 используется полностью. Сечение стержня 1 можно уменьшить и сэкономить таким образом сталь. В этом случае новое сечение

м² = 2,5 см²;

см.

Экономия стали составила

%.

2.2 Задачи для расчетно-графических работ по теме «Осевое растяжение–сжатие стержней»