Математическое описание систем управления 8 страница

Нетрудно проверить, что удовлетворяет основным свойствам переходной матрицы состояния, в частности

Функция веса рассматриваемой системы

,

а передаточная функция

.

Несмотря на то, что ряд для сходится абсолютно и равномерно при любых , определение этой матричной функции достаточно сложное. Особые трудности возникают при большой размерности матрицы А, при наличии в А положительных или значительно отличающихся по модулю собственных значений. Поэтому на основе формулы (2.201) было разработано несколько эффективных и очень важных для приложения алгоритмов и программ, позволяющих приближенно (численно) вычислить с помощью ЭВМ [2].

Простейший алгоритм может быть получен, если при одном определенном значении представить первыми (к+1) членами ряда (2.201):

(2.202)

Для вычисления в другие последовательные моменты времени необходимо в формуле (2. 202) положить , где

Метод определения переходной матрицы состояния, основанный на использовании преобразования Лапласа.

Применив к левой и правой части уравнения (2.164) преобразование Лапласа, получим

(2.203)

или

. (2.204)

Из последнего уравнения находим:

. (2.205)

Применив к обеим частям уравнения (2. 205) обратное преобразование Лапласа, получим

. (2.206)

Из сравнения уравнений (2.174) и (2.206) следует, что

. (2.207)

Таким образом, для нахождения необходимо, во-первых, составить матрицу , во-вторых, найти обратную матрицу , в-третьих, с помощью обратного преобразования Лапласа для каждого элемента обратной матрицы найти соответствующий сигнал.

Пример 2.9. Определить для системы, рассмотренной в примере 2.8.

Решение. Составляем матрицу

.

Находим обратную матрицу

,

где алгебраические дополнения матрицы равны:

.

Следовательно,

.

Учитывая, что

получим выражение для , аналогичное выражению, найденному в примере 2.8.

Из изложенного выше следует, что успешное применение этого метода возможно только при небольшой размерности матрицы А. Если , то практическое применение метода осложнено, главным образом, трудностями, которые возникают при определении обратной матрицы. Для преодоления этих трудностей был разработан ряд алгоритмов, которые позволяют с помощью ЭВМ существенно упростить решение задачи нахождения обратной матрицы.

Метод экспериментального определения переходной матрицы состояния, основанный на использовании ЭВМ.

Сущность метода без ограничения общности рассмотрим на объекте управления ТП-Д, динамические свойства которого описываются дифференциальным уравнением третьего порядка:

. (2.208)

Выбрав в качестве переменных состояния , получим следующие уравнения состояния, соответствующие приведенному выше дифференциальному уравнению:

где

Схема аналогового моделирования рассмотренного объекта показана на рис.2.39.

Рис.2.39. Схема аналогового моделирования САУ третьего порядка

Решение уравнений состояния, как показано выше, имеет вид:

,

где - переходная матрица состояния.

Или в развернутом виде:

. (2.209)

Установим теперь начальные условия на интеграторах:

.

Тогда из решения уравнения (2.209) получим:

,

или , т.е. выходные сигналы 1, 2, и 3 интеграторов будут представлять собой в этом случае соответственно элементы первого столбца переходной матрицы состояния . Если начальные условия выбрать такими, чтобы , то в этом случае выходы интеграторов будут равны элементам второго столбца переходной матрицы состояния. При выходы интеграторов с переменными состояния будут представлять собой элементы третьего столбца переходной матрицы состояния . Существенно при этом заметить, что переменная состояния будет представлять собой для рассматриваемой структуры функцию веса системы, т.е. при , что полностью согласуется с определением функции веса системы как реакции системы при нулевых начальных условиях на -функцию.

Существенным преимуществом рассмотренного метода является то, что он работает во всех тех случаях, когда ни один другой метод не можетбыть применим.

Короткая характеристика других методов нахождения переходной матрицы состояния.

Для вычисления существуют, кроме рассмотренных, еще и ряд других методов. К их числу, прежде всего, относятся: метод Келли-Гамильтона (Cayley-Hamilton), метод диагонализации и метод Сильвестра (Sylvester).

Метод Келли-Гамильтона основан на использовании теоремы матричного анализа Келли-Гамильтона, в соответствии с которой каждая матрица А порядка является корнем своего характеристического уравнения. Метод позволяет достаточно просто вычислить в замкнутой форме для небольших размерностей матрицы А (). Важным преимуществом метода в сравнении с другими аналогичными методами, например, по сравнению с методом Сильвестра, является сравнительная простота вычисления в случае кратных собственных значений матрицы А. Именно в этом случае и следует применять метод Келли-Гамильтона. Если , то тогда целесообразно использовать численный алгоритм, разработанный на основе теоремы Келли-Гамильтона [4].

Метод диагонализации основан на преобразовании матрицы А в диагональную (каноническую) форму, осуществляемую с помощью матриц Вандермонда и или модальных матриц и [4].

В этом случае или , где

,

а - характеристические числа матрицы А.

Метод диагонализации можно применять только для случая, когда матрица А имеет действительные собственные значения. В этом его недостаток. Переходная матрица состояния в соответствии с этим методом получается в замкнутой форме. При трудности существенно возрастают вследствие необходимости вычисления обратной матрицы.

Метод Сильвестра позволяет вычислить в соответствии с известной теоремой Сильвестра [4] для случая, когда матрица А имеет только действительные собственные значения и ее размерность не превышает 3. Если собственные значения являются кратными, то формулы существенно усложняются.