Взаимное расположение прямых и плоскостей

1. прямые на плоскости

Рассмотрим расположение двух прямых на плоскости. Они могут быть параллельны или пересекаться. Совпадающие прямые будем рассматривать как частный случай параллельных прямых. Перпендикулярные прямые – частный случай пересекающихся прямых.

Очевидно, что две прямые параллельны, если у них коллинеарны направляющие вектора или, соответственно, нормальные вектора. В остальных случаях прямые пересекаются.

Найдем угол между двумя прямыми. Пусть уравнение прямой L ₁ имеет вид y = k ₁ x + b ₁, где k ₁ = tgα₁, а уравнение прямой L ₂: y = k ₂ x + b ₂, где k ₂ = tgα₂.

Из рис. 38 видно, что α₂ = φ + α₁ и, значит, φ = α₂ – α₁. Следовательно,

.

Полученная формула

определяет один из углов между прямыми, другой угол равен π – φ.

Пример 1.

Прямые заданы уравнениями y = 2 x + 3 и y = –3 x + 2. Найти угол между этими прямыми.

Очевидно, что k ₁ = 2, k ₂ = –3, поэтому

.

Таким образом, один из углов между данными прямыми равен , другой угол равен .

Если прямые заданы общими уравнениями:

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0,

тогда и . Подставим значения k ₁ и k ₂ в формулу угла между прямыми и получим:

.

Получили аналогичную формулу для нахождения угла:

.

Для простоты можно условиться под углом φ между двумя прямыми понимать острый положительный угол. Тогда тангенс этого угла будет всегда положительным. Поэтому для острого угла φ получаем:

.

Пример 2.

Определить угол между прямыми 2 x – 3 y + 7 = 0 и 4 x – 8 y + 9 = 0.

По последней формуле имеем

.

Очевидно, что для параллельных прямых тангенс угла между ними равен нулю. Поэтому для прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k ₁ x + b ₁, y = k ₂ x + b ₂

получим = 0 и, значит, k ₁ = k ₂ – условие параллельности прямых. Для прямых, заданных общими уравнениями

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0

получаем

=0.

Значит, A ₁ B ₂ – A ₂ B ₁ = 0 – условие параллельности прямых.

Учитывая, что для прямой Ax + By + C = 0 вектор q = (– B, A) можно рассматривать как направляющий, то аналогичные формулы можно вывести, рассматривая угол между прямыми, как угол между их направляющими векторами.

Очевидно, чтобы угол между прямыми был прямой, т.е. они были перпендикулярны, необходимо, чтобы были перпендикулярны их нормали или, соответственно, их направляющие вектора. Для прямых

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0

получаем:

(n ₁, n ₂) = 0 или A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

Это условие перпендикулярности прямых.

Преобразуем последнее уравнение, разделив обе его части на B ₁ B ₂, получаем

или .

Заменим на k ₁ и на k ₂, получим

1 + k ₁ k ₂ = 0 или k ₁ k ₂ = –1.

Полученное соотношение

k ₁ k ₂ = –1

дает условие перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

Пример 3.

Показать, что прямые 2 x – 4 y + 1 = 0 и – x + 2 y + 3 = 0 параллельны.

Действительно A ₁ = 2, B ₂ = –4 и A ₂ = –1, B ₂ = 2. Подставим эти значения в условие параллельности прямых A ₁ B ₂ – A ₂ B ₁ = 0:

2 ∙ 2 – (–1) ∙ (–4) = 0.

Получим верное тождество.

Пример 4.

Показать, что прямые 3 x – 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y – 3 = 0 перпендикулярны.

Приведем уравнения прямых к уравнениям с угловыми коэффициентами:

5 y = 3 x + 7 => ;

6 y = –10 x + 3 => .

Следовательно, и и, значит, k ₁ k ₂ = –1. Данные прямые перпендикулярны.

Пусть заданы две прямые

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0.

Пусть известно, что они параллельны, т.е.

A ₁ B ₂ – A ₂ B ₁ = 0.

Если координаты нормального вектора n ₂ ненулевые, то это условие можно переписать:

.

Это условие параллельности прямых.

Если пропорциональны и свободные члены этих уравнений, то прямые совпадают:

.

Это условие совпадения прямых.

2. плоскости

Очевидно, что две плоскости могут быть параллельны или пересекаться. Совпадение двух плоскостей будем рассматривать как частный случай параллельных плоскостей. Частным случаем пересекающихся плоскостей являются перпендикулярные плоскости.

Угол между плоскостями – это угол между их нормальными векторами. Следовательно, если две плоскости заданы общими уравнениями

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0,

то угол φ между плоскостями можно найти как угол между векторами n ₁(A ₁, B ₁, C ₁) и n ₂(A ₂, B ₂, C ₂), используя скалярное произведение:

.

Это формула нахождения угла между плоскостями.