Интегрирование по частям

Пусть даны две дифференцируемые функции и . Тогда, по свойствам дифференциалов,

.

Интегрируя это соотношение, получим . Отсюда следует, что

.

Эта формула и носит название формулы интегрирования по частям.

Пример.

Пусть надо вычислить интеграл .

Разбиваем подынтегральное выражение на кусочки , . Отсюда получается, что , . Формула интегрирования по частям дает тогда

.

Как уже говорилось выше, четких и однозначных алгоритмов вычисления неопределенных интегралов нет и не может быть, так как имеется огромное число так называемых неберущихся интегралов, то есть таких интегралов, которые не выражаются через элементарные функции и представляют собой класс так называемых специальных функций. Однако имеются определенные классы функций, для которых алгоритмы вычисления интегралов могут быть четко сформулированы. К изучению этих классов функций мы и переходим. Но, прежде чем приступить к их изучению, придется сделать небольшое, но очень важное отступление.

6.5 Комплéксные числа

В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся математических объектов.

Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных чисел. Складывая положительные числа, в ответе всегда получаем положительное число. Но обратная операция - вычитание - привела к необходимости рассматривать числа отрицательные.

Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целое число. Обратная операция - деление - приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.

Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция - извлечение квадратного корня - приводит к иррациональным числам (, например), то есть к числам, не являющимся рациональными.

Но та же операция извлечения квадратного корня дает и еще один класс чисел. Как известно, квадрат любого числа есть число неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел (например, ). А как быть с ? Чему он равен? Ведь нет такого вещественного числа, квадрат которого был бы равен - 9.

Но, как говорится, если нельзя, но очень хочется - то можно. И желание извлекать квадратные корни из отрицательных чисел привело к новому классу чисел, называемых комплéксными числами. Для их рассмотрения оказалось достаточным ввести всего лишь одно новое число

,

которое называется «мнимой единицей». Считается, что это «число» обладает всеми свойствами обычных чисел, и имеет всего одно единственное новое свойство

.

Так что, например, , ибо . Числа, содержащие i, называются комплéксными числами. Без них немыслима современная математика.