Признак Больцано-Коши

Для того, чтобы интеграл сходился необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

.

Доказательство.

Снова рассмотрим функцию . По признаку Больцано-Коши, для существования конечного предела необходимо и достаточно выполнение условия

.

Но в нашем случае

и поэтому признак Больцано-Коши принимает форму, указанную в формулировке теоремы.

Следствие. Если сходится , то сходится и .

Доказательство.

По признаку Больцано-Коши

сходится Þ .

(Обратите внимание, что написано так , а не так ; интересно, почему отсутствует знак модуля вокруг интеграла?).

Но тогда и мы получаем, что

,

откуда, по тому же самому признаку Больцано-Коши следует, что сходится. <

Определение. Если сходится, то интеграл называется абсолютно сходящимся ( или: интеграл сходится абсолютно). Если же сходится, но , то интеграл называется неабсолютно сходящимся ( или: интеграл сходится не абсолютно).

Вообще говоря, a priori не очевидно, что неабсолютно сходящиеся интегралы существуют вообще. Например, оказывается, что когда речь идет о плоскости и так называемых двойных интегралах, неабсолютно сходящихся интегралов не существует, и все двойные интегралы сходятся только абсолютно. Но в одномерном случае такие интегралы существуют, и ниже будет приведен пример такого интеграла.

Признак Больцано-Коши не является «рабочим» признаком, им не проверяется вопрос сходимости какого-то конкретного интеграла. Но на его основе строятся рабочие признаки, два из которых и будут рассмотрены ниже. Но, прежде чем перейти к их изучению, приведем без доказательства одну теорему, которая называется

Вторая теорема о среднем. Пусть

1. функция интегрируема на отрезке ;

2. функция монотонна и ограничена на этом отрезке.

Тогда существует точка , такая, что

.

Доказывать эту теорему мы не будем.

А теперь перейдем к изучению рабочих признаков сходимости несобственных интегралов.