Редуцированный наблюдатель

Рассмотренный в предыдущей лекции наблюдатель называют наблюдателем полного порядка. Он оценивает весь вектор x, несмотря на то, что компоненты вектора “y”, входящие в состав “x”, могут быть измерены непосредственно. Для восстановления лишь тех переменных, которые не могут быть непосредственно измерены, наблюдатель может быть выполнен как редуцированный, или наблюдатель пониженного порядка. Все переменные состояния объекта, составляющие вектор “x”, можно разделить на измеряемые, которые образуют вектор “y”, размерности m, и неизмеряемые, образующие вектор w размерности (n-m), т.е. записать:

(14.8)

Тогда уравнение может быть записано в виде:

(14.9)

или, что тоже самое:

эти матрицы имеют размерности:

На основании второго уравнения (14.11) можно рассматривать часть системы с выходным вектором w, для которой входными воздействиями являются и . Для этой части системы по принципам, изложенным ранее, строится наблюдатель, на входе которого действуют векторы и , а также вектор ошибки восстановления через некоторую матрицу L. Матрица L в редуцированном наблюдателе играет ту же роль, что и в наблюдателе полного порядка. Вектор “w” неизмеряем. Однако он может быть измерен косвенно через вектор входного воздействия “u” и измеряемый вектор “y” в соответствии с первым уравнением системы (14.10):

Для получения в определенном масштабе вектора ошибки надо умножить вектор восстановленных координат слева на матрицу – А₁₂ и определить разность После умножения на L ее следует ввести на вход наблюдателя. Это поясняет структурная матричная схема (рис. 14.5).

Группируя входные каналы с матрицами и , и , и перенося сигнал “p×y” со входа на выход наблюдающего устройства, что позволяет избежать операции дифференцирования, можно получить структурную схему на рис. 14.6, а затем, вынося точку суммирования за точку съема, схему на рис. 14.7, где обозначено:

Вектор “z” представляет собой вектор состояния наблюдателя. Он связан с вектором восстановленных неизмеряемых координат и вектором “y” линейным преобразованием .

Учитывая, что в редуцированном наблюдателе полный вектор восстановленных координат формируется так

,

можно записать, что , где . Тогда .

Тем же образом, что и для наблюдателя полного порядка, решается вопрос выбора динамики или собственных значений матрицы , через выбор матрицы L.

Для схемы на рис. 14.5 уравнение наблюдателя:

.

Пример 2. Построить наблюдатель для восстановления переменной х₂ в объекте, приведенном ранее.

; ;

Блочные матрицы имеют вид

.

;

;

Схема наблюдателя приведена на рис. 14.8.

С помощью рассмотренных наблюдателей дополнительно можно решать и другие задачи, например.

1. Оценивать возмущения, приложенные к объекту (для этого необходимо в уравнения состояния объекта ввести возмущения как одну из координат).

2. Оценивать изменяющиеся параметры системы k_i, T_i и на этой основе строить адаптивные системы.

Оценки координат можно использовать для построения модального регулятора.