Точечные оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия

Метод наиб.правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимальной ф-ции одного или нескольких оценивающих параметров.

А. ДСВ

Пусть X—ДСВ, которая в результате n испытаний приняла значения х₁, х₂,..., х_n. Допустим, что вид закона распределения величины X задан, но неизвестен параметр Θ, которым определяется этот закон. Требуется найти его точечную оценку. Θ*= θ*(х₁, х₂,..., х_n). Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение x_i через

Р(x_i; Θ*).

Функцией правдоподобия ДСВ X называют функцию аргумента Θ: L(х₁, х₂,..., х_n, Θ) = р(х₁; Θ)р(х₂; Θ)... р(х_n; Θ),

Оценкой наиб.правдоподобия Θ назыв.такое его значение Θ* при котором ф-ция правдоподобия достигает максимума.

Функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении Θ, поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут максимум функции lnL.

Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию lnL. Tочку максимума функции lnL аргумента Θ можно искать, например, так:

1) найти производную dlnL/dΘ;

2) приравнять производную нулю и найти критическую точку Θ* -корень полученного уравнения (его называют уравнением правдоподобия);

3) найти вторую производную d²lnL,Рг; если вторая производная при Θ = Θ * отрицательна, то Θ *—точка максимума.

Найденную точку максимума Θ * принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра Θ.