Закон сохранения импульса. Понятие центра масс

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц)замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил

Вывод из формализма Ньютона

Рассмотрим второй закон Ньютона

Перепишем его для системы из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n -ю частицу со стороны m -ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

или

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется некоторая точка С, положение которой характеризует распределение массы системы. Ее радиус-вектор где m_i и r_i - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n - число материальных точек в системе; - масса системы. Скорость центра масс Учитывая, что p_i = m_iv_i, a есть импульс р системы, можно написать (3) т. е. импульс системы равен массе системы, умноженную на скорость ее центра масс. Подставив выражение (3) в уравнение (1), получим (4) т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (4) и есть закон движения центра масс. В соответствии с (3) из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.