Одноканальная СМО с отказами

Рассмотрим простейшую из всех задач теории массового обслу живания — задачу о функционировании одноканальной СМО с отказами.

Пусть, система массового обслуживания состоит только из одного канала и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью, зависящей, в общем случае, от времени:

Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему.

Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени распределенного по показательному закону с параметром

Рис. 5.1

Из этого следует, что «поток обслуживаний» — простейший, с интенсивностью Чтобы представить себе реально этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал — он будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью

Требуется найти:

1) абсолютную пропускную способность СМО ();

2) относительную пропускную способность СМО

Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в одном из двух состояний:

— свободен,

— занят.

Граф состояний системы показан на рис. 5.1.

Из состояния в S, систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью X; из и — «поток обслуживание с интенсивностью

Обозначим вероятности состояний Очевидно, для любого момента

Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному в § 3 гл. 4. Имеем:

Из двух уравнений (3.4) одно является лишним, так как связаны соотношением (3.3).

Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо его выражение

или

Это уравнение естественно решать при начальных условиях:

(в начальный момент канал свободен).

Линейное дифференциальное уравнение (3.5) с одной неизвестной функцией легко может быть решено не только для простейшего потока заявок), но и для случая, когда интенсивность этого потока со временем меняется). Не останавливаясь на последнем случае, приведем решение уравнения (3.5) только для случая:

Рис. 5.2

Зависимость величины от времени имеет вид, изображенный на рис. 5.2. В начальный момент (при канал заведомо свободен. С увеличением t вероятность уменьшается и в пределе равна Величина дополняющая до единицы, изменяется как показано на том же рис. 5.2.

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность есть не что иное, как относительная пропускная способность

Действительно, есть вероятность того, что в момент t канал свободен, иначе вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет обслужена. А значит, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно

В пределе, при когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:

Зная относительную пропускную способность q, легко найти абсолютную А. Они связаны очевидным соотношением:

В пределе, при абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна

Зная относительную пропускную способность системы q (вероятность того, что пришедшая в момент t заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:

Вероятность отказа Яотк есть не что иное, как средняя доля необслуженных заявок среди поданных. В пределе, при

Пример. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка — вызов, пришедший в момент, когда линия занята, получает отказ. Интенсивность потока вызовов (вызовов в минуту). Средняя продолжительность разговора Все потоки событий — простейшие. Определить предельные (при) значения:

1) относительной пропускной способности

2) абсолютной пропускной способности А;

3) вероятности отказа

Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый разговор длился в точности 1,5 мин, и разговоры следовали бы один за другим без перерыва.

Решение. Определяем параметр потока обслуживаний:

По формуле (3.6) получаем относительную пропускную способность СМО:

Таким образом, в установившемся режиме система будет обслуживать около 45% поступающих вызовов.

По формуле (3.9) находим абсолютную пропускную способность;

т. е. линия способна осуществить в среднем 0,364 разговора в минуту. Вероятность отказа:

значит около 55% поступивших вызовов будет получать отказ. Номинальная пропускная способность канала:

что почти вдвое больше, чем фактическая пропускная способность, получаемая с учетом случайного характера потока заявок и случайности времени обслуживания.