Формула трапеций. Аппроксимируем подынтегральную функцию полиномом первой степени, построенным по двум узлам: xi–1 и xi

Аппроксимируем подынтегральную функцию полиномом первой степени, построенным по двум узлам: x_{i– 1} и x_i. Интерполяционный полином Лагранжа первой степени имеет вид

.

Тогда

.

Получили формулу трапеций для элементарного отрезка [ x_{i– 1}, x_i ].

Суммируя, получаем составную формулу трапеций:

. (3.8)

Оценим погрешность формулы трапеции.

Тогда .

Формула трапеций имеет тот же порядок точности – второй, что и формула центральных прямоугольников, но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей. Поэтому предпочтительнее пользоваться формулой прямоугольников.

Примечание 4. О симметричных квадратурных формулах.

Отметим еще один интересный факт. Формула прямоугольников получена при использовании полинома нулевой степени, а формула трапеций – первой. Но порядок точности один и тот же, хотя при увеличении степени полинома следовало бы ожидать увеличения точности. Это проявление симметрии формулы прямоугольников (сравните для примера порядки точности несимметричной формулы левых прямоугольников и формулы трапеций – соответствие степени интерполяционного полинома и порядка точности налицо).

Признаки симметричности квадратурных формул:

1) n – четное;

2) узлы расположены симметрично относительно середины отрезка [ a,b ], то есть ;

3) коэффициенты симметричны: C_i=C_{n– i}.

Конец примечания 4.