Постановка задачи интерполирования

В первоначальном понимании интерполяция[4] – это нахождение промежуточных значений табличной функции («сгущение» таблицы). В более широком смысле – это восстановление функции (точное или приближенное) по известным ее значениям, то есть замена табличной функции другой, заданной в аналитическом виде. Цели интерполяции могут быть различны, но почти всегда в ее основе – желание иметь быстрый алгоритм вычисления значений f (x)для х, не содержащихся в таблице данных { x_i, y_i }. Компактная таблица данных и небольшая программа интерполирования могут заменить очень длинную таблицу значений функции.

При интерполяции требуется точное прохождение интерполяционной функции у=F (x) через узловые точки { x_i, y_i }:

F (x_i) = f (x_i ) = y_i. (2.4)

Исторически и прагматически наиболее важным классом интерполирующих функций является множество алгебраических полиномов (многочленов). Полиномы имеют очевидное достоинство – их значения легко вычислять. Их также легко складывать, умножать, интегрировать и дифференцировать.

Если степень полинома совпадает с количеством узлов интерполяции, то говорят о глобальной интерполяции, то есть один полином

используется для интерполяции функции f (x) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х.

Ясно, что потребовав, чтобы он проходил через n+ 1 точку, получим n+ 1линейное уравнение для неизвестных коэффициентов а_k:

.

Определителем этой системы является отличный от нуля определитель Вандермонда:

Отсюда следует существование и единственность интерполяционного полинома при x_i ¹ x_j . Но отметим сразу, что форм его записи может быть много.

Интерполяционные многочлены могут также строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае говорят о кусочной (локальной) интерполяции.

Простейшим видом локальной интерполяции является линейная интерполяция (рис.2.3). Ее суть: функция считается изменяющейся между двумя соседними значениями аргумента линейно, то есть узловые точки { x_k, y_k }, k= 0, 1 ,.., n соединяются прямолинейными отрезками.

Следовательно, интерполяционный многочлен будет состоять из «кусочков» вида

Как будет показано ниже, погрешность линейной интерполяции между узловыми точками определяется выражением

,

Рис.2.3 – Линейная интерполяция

где .