Формула прямоугольников

Формулы для приближённого вычисления интегралов применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определённый интеграл с помощью формулы Ньютона – Лейбница:

Встречаются также случаи, когда приходится прибегать к формулам приближённого интегрирования из-за того, что функции заданы таблицей или графиком.

Наиболее простой формулой для численного интегрирования является формула прямоугольников. Формула прямоугольников, собственно, есть не что иное, как интегральная сумма, составленная с учётом некоторых дополнительных предположений, причём совершенно естественных.

Пусть требуется вычислить интеграл Разобьем участок интегрирования [a,b] на n равных частей и поместим точки, значения функции в которых входят в интегральную сумму, в левых концах полученных участков. Если считать, что n достаточно велико, т.е. длина участков разбиения достаточно мала, то интегральная сумма должна уже мало отличаться от величины интеграла. Таким образом, мы получаем приближённое равенство (форм.1):

которое и является формулой прямоугольников. Здесь через y₀, y₁,…, y_n обозначены значения функции y = f(x) в точках деления x₀, x₁,…, x_n.

Аналогичная формула прямоугольников получится и в том случае, если брать для интегральной суммы значение функции не в левых, а в правых концах участков разбиения. Тогда формула примет вид (форм. 2): Для функции, монотонной на отрезке интегрирования, всякая интегральная сумма, а значит, и определённый интеграл заключены между приближёнными значениями, указанными в правых частях формул 1 и 2. Геометрическую иллюстрацию этого факта можно видеть на рисунке:

Слагаемые, входящие в различные суммы, показаны пунктиров и штриховкой. Благодаря этому представление о погрешностях формулы прямоугольников можно получить, рассматривая разность результатов, полученных по формулам 1 и 2.

Если функция имеет на отрезке интегрирования конечное число экстремумов, то отрезки интегрирования можно разбить на участки монотонности и получить, таким образом, оценку погрешности формулы прямоугольников.

.

Формула трапеций.

Рассмотрим интеграл, который представляет собой заштрихованную площадь.

Разобьём интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной h=(b-a)/n. Рассмотрим теперь один из этих интервалов, где масштаб по оси Х сильно увеличен (Рис. 1).

Площадь, лежащая под кривой y = f(x) между x_i и x_i+1, равна

Но если h достаточно мало, то эту площадь без большой ошибки можно прировнять к площади трапеции ABCD. Если написать y_i = f(x_i), то площадь прямоугольника ABED будет равна y_ih, а площадь треугольника BEC будет равна?*(y_i+1-y_i)h, так, что

Но поскольку

Получаем где x₀ = a и x_n = b. Окончательно получаем

Эта формула описывает хорошо известное правило трапеций для численного интегрирования; согласно этому правилу, приближённое значение интеграла получается в виде суммы площадей n трапеций. Разлагая функцию в ряд Тейлора, можно оценить погрешность метода интегрирования по формуле трапеции , где M – наибольшее по абсолютной величине значение второй производной от f(x), на интервале [a, b]. Ошибки метода больше чем у большинства других, однако он прост.

Формула Симпсона.

Разобьём участок [a, b] на чётное число n=2m частей точками а=х₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b, обозначим ординаты в точках деления через y₀,y₁,…,y_n и рассмотрим пару соседних участков, например с левым концом в точке а=х₀ (Рис. 2)

Проведём через три точки кривой с координатами (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂) параболу с осью, параллельной оси OY. Её уравнение будет y=Ax²+Bx+C. Заменив площадь заданной криволинейной трапеции на участке [х₀, х₂] площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой, придём к приближённому равенству:

Вычислив определённый интеграл и найдя неизвестные коэффициенты А, В, С из условия, что при значениях х, равных х₁, х₂, х₃, функция f(x) принимает соответственно значения y₀, y₁, y₂, придём к приближённому равенству где h=(b-a)/n. Для каждой следующей пары участков получается такая же формула. Суммируя равенства по всем участкам, получим формулу Симпсона:

Погрешность метода интегрирования по формуле Симпсона

Формула Симпсона является более точной, нежели рассмотренная формула трапеций. Это означает, что для достижения той же точности в ней можно брать меньшее число n участков разбиения, а при одном и том же шаге даёт меньшую абсолютную и относительную ошибку.