Понятие о перемещениях. Зависимости между деформациями и перемещениями

Предположим, что упругое тело закреплено и не может перемещаться в пространстве. Тогда его точки могут изменять положение в пространстве только за счет деформации тела.

Пусть какая - нибудь точка А упругого тела (рис. 11), имевшая до де­формации координаты х, у и z, вследствие деформа­ции тела оказалась в

Рис. 11

поло­жении A₁ с координатами х + и, у + v и z + w. Отрезок AA₁ называется линейным перемещением точки A, а отрезки и, v и w — проекциями этого перемещения на оси координат. Переме­щения и их проекции для разных точек различны; они пред­ставляют собой непрерывные (по условиям сплошности) функции координат точки:

u =f₁ (x, y, z); v = f₂ (x, y, z); w = f₃ (x, y, z).

Деформированное состояние в точке А (рис. 12, а) будет известно, если будут известны деформации всех трех про­екций элементарного параллелепипеда. Для этого надо знать: относительные линейные деформации трех взаимно перпендикулярных ребер e_x, e_y и e_z и изме­нения прямых углов между ребрами в плоскостях трех его граней, параллельных плоскостяx координат (относительные сдвиги или относительные угловые деформации g_xy, g_yz, g_zx.

а	б

Рис. 12

Относительное изменение объема элементарного параллелепи­педа при деформации

Если отбросить величины второго и третьего порядка малости,

, (1.14)

где средняя относительная линейная деформация

.

Найдем зависимости между составляющими деформациями и проекциями перемещения на оси координат. Для этого рассмотрим проекцию элементарного параллелепипеда на пло­скость хОу. Пусть заданы первоначальные координаты точки А — х и у и длины проекций ребер dx и dy (рис. 12, б). После дефор­мации тела точка А перейдет в положение A₁, а точка В — в положение В₁.

Линейное перемещение точки В вдоль оси х равно сумме ли­нейного перемещения точки А и его приращения, вызванного изменением координаты х при переходе от точки А к точке В. Это приращение равно частному дифференциалу функции и = f₁ (x, y, z) по переменной х. Поэтому линейное перемещение точки В равно . Кроме того, вследствие изменения перво­начального прямого угла ВАС на величину a точка В₁ займет положение В'. Отрезок В₁ В' представляет изменение пере­мещения v точки А при переходе от точки А к точке В вдоль оси х.

Относительная деформация e_x ребра АВ

аналогично найдем

Изменение g_xy прямого угла ВАС в плоскости хОу получим, заменив углы a и b их тангенсами,

Если пренебречь в скобках частными производными, которые малы по сравнению с единицей, то

Из проекций элементарного параллелепипеда на две другие плоскости координат найдем выражение для относительной линейной де­формации e_z и относительных сдвигов g_yz и g_zx. В результате получим следующие шест зависимостей между относительными деформациями и перемеще­ниями:

. (1.15)

Зависимости (1.15) получены Коши. Исходя из гео­метрического смысла частных производных, стоящих в правой части, можно установить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответствует удлинению, положительное значение отно­сительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов хОу, уОz и zОx.