Оценка показателей надежности по усеченным выборам, методом максимального правдоподобия

Достоинства метода максимального правдоподобия: 1) универсальность (можно обрабатывать усеченные выборки), 2) получение несмещенных и асимптотически эффективных оценок.

Недостатки метода максимального правдоподобия: 1) вид закона распределения должен быть заранее определен, 2) полученные уравнения решаются только численным методом.

Идея метода: пусть даны результаты испытания в виде вектора

Пусть известен вид закона распределения.

- закон Вейбулла

вектор параметров закона

Необходимо найти такие значения параметров закона распределения

была бы максимальной.

- ф-ия правдоподобия, равная вероятности получить именно те результаты t_i, которые получены в испытаниях, при выбранных значениях Θ

p(t_i) – вероятность того, что отказ произошел в момент t_i.

Если выборка усеченная, то данные эксперимента выглядят так:

q(τ_j) – вероятность того, что отказ не произошел за время τ_j.

10. Планы определительных испытаний.

Целью определительных испытаний является нахождение статистических оценок числовых характеристик, параметров законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления и на их основе оценка требуемых показателей безотказности и ремонтопригодности. В случаях, когда законы распределения неизвестны, то по полученной статистике определяют и вид законов. Испытания на надёжность могут организовываться специально или совмещаться с другими испытаниями элементов и систем.

Для оценки ремонтопригодности проводят обычно так называемые ремонтные испытания. Они бывают двух типов: с возникающей и с создаваемой необходимостью технического обслуживания и восстановления. В первом случае ремонтные испытания обычно проводятся одновременно с испытаниями на безотказность. Для случая создаваемой необходимости восстановления организуются специальные испытания. В обоих случаях проводится хронометраж времени, затрачиваемого на ремонт или замену отказавших элементов, включая операции поиска неисправностей, определяется трудоёмкость ремонта с учётом квалификации персонала. Безотказность большинства элементов информационных систем весьма высока, наработка на отказ измеряется тысячами часов, не всегда удаётся проводить испытания столь длительно. Это приводит к определённой специфике.

О долговечности информационных систем в целом говорить невозможно, так как они являются развивающимися системами, находящимися в состоянии постоянной модернизации. Можно судить о долговечности только отдельных составляющих ИС, и оценивать показатели их долговечности можно только по проявлению процессов износа и старения в виде возрастания потока отказов в эксплуатации.

Наибольшие трудности связаны с организацией испытаний на надёжность с целью оценки безотказности особенно высоконадёжных изделий. Для получения достаточно точных оценок показателей безотказности требуется, чтобы за время испытаний было зафиксировано хотя бы несколько десятков, лучше сотни отказов. Это в свою очередь требует затрат большого времени, большого числа изделий, делает испытания весьма дорогостоящими

Можно предложить следующую классификацию определительных испытаний на надёжность:

1. По постановке задачи.

1.1. Определяется закон распределения времени безотказной работы и его параметры. Это наиболее общая постановка задачи, так как, зная закон распределения и его параметры, можно легко найти любые показатели надёжности.

1.2. Оценка числовых характеристик закона распределения и показателей надёжности (наработки на отказ, вероятности безотказной работы за заданное время и др.).

2. По наличию априорной информации.

2.1. Вид закона распределения известен, например, по результатам испытания аналогов.

2.2. Вид закона распределения неизвестен.

3. По характеру получаемого в результате испытаний статистического материала.

3.1. План испытаний строится таким образом, что получаемая статистика точно соответствует оцениваемым показателям, например, требуется оценить вероятность безотказной работы за заданное время и изделия испытываются в течение этого времени, или требуется оценить наработку на отказ и все изделия испытываются до отказа.

3.2. План испытаний не позволяет непосредственно оценивать требуемые показатели безотказности. Это обычно имеет место в случае усеченных выборок. Тогда необходимо либо априорное знание закона распределения времени безотказной работы, либо его определять на основе полученных статистических данных и проверять выбранный закон по критериям согласия.

11. Показатели безотказности.

Основным свойством надёжности является безотказность.

Безотказность – это свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течении некоторой наработки. Наработка – продолжительность или объем работы объекта, измеряемые в часах, циклах или в других единицах.

Ремонтопригодность – свойство изделия, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта.

Сохраняемость – это свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способность объекта выполнять требуемые функции, в течении и после хранения и (или) транспортирования.

Долговечность – это свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.

Показатели безотказности

2. Вероятность безотказной работы Р(t) и вероятность отказа Q(t) за заданное время штатной работы t. Если задано время t, за которое решается поставленная задача, то вероятность Р(t), является вероятностью успешного решения поставленной задачи.

2. Наработка на отказ (наработка до первого отказа, наработка между отказами). Т0, т.е. математическое ожидание времени безотказной работы (1.10). Этот показатель характеризует безотказность системы, если время её работы не ограничено и желательно, чтобы она проработала безотказно возможно более долго.

В случае, когда интенсивность отказов постоянная величина l=const, т.е. при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы, эту величину, называемую "лямда-характеристикой", используют в качестве показателя безотказности, так как она однозначно связана с наработкой на отказ l =1/T₀.

3. При стационарном процессе отказов-восстановлений и пренебрежимо малом времени восстановления по сравнению с наработкой на отказ показателем безотказности является интенсивность потока отказов w или параметр потока отказов m, а для простейшего потока отказов – интенсивность отказов l, w=m=l.

4. Для ответственных ИС на практике часто используется также уровень безотказности, который не имеет вероятностного характера. Системы строятся таким образом, чтобы никакие отказы одного, двух или более элементов не приводили к отказу системы. Такие системы называют отказоустойчивыми или d - безотказными, где d - уровень безотказности, т.е. максимальное количество элементов, одновременный отказ которых в любом сочетании не приводит к потере работоспособности системы. Этот показатель отражает только структурные меры обеспечения высокой надежности системы. Его достоинство состоит в том, что он не зависит от значений показателей надежности отдельных элементов, которые часто бывают нам известны весьма приближенно.

12. Показатели ремонтопригодности, долговечности и сохраняемости.

Ремонтопригодность – свойство изделия, заключающееся в приспособленности к поддержанию и восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта. Сохраняемость – это свойство объекта сохранять в заданных пределах значения параметров, характеризующих способность объекта выполнять требуемые функции, в течении и после хранения и (или) транспортирования. Долговечность – это свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов.

Показатели ремонтопригодности Вероятность Рв(t) того, что фактическое время восстановления не превысит заданное время t. Существует время отказа T0 и время восстановления Тв

При экспоненциальном законе распределения времени восстановления интенсивность восстановления mв

.

Коэффициент готовности kг(t) - вероятность работоспособности системы в момент времени t

,

Коэффициент простоя kп(t) - вероятность неработоспособного состояния в момент времени t;

Кг+Кп=1

Показатели долговечности и сохраняемости

К показателям долговечности относятся ресурс и срок службы изделия. Различают гамма процентный ресурс, средний ресурс, средний ресурс до списания и др. Гамма процентный ресурс - это наработка, в течение которой устройство не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью g процентов. Заданный процент устройств является регламентированной вероятностью. Если, например, g=90%, то соответствующий ресурс следует называть "девяносто процентный ресурс". Гамма процентный ресурс определяется из уравнения

1-Fp(t)=g/100, где Fp(t) - функция распределения ресурса

Календарная продолжительность хранения и (или) транспортирования объекта в заданных условиях, в течение и после которой сохраняются значения заданных показателей в установленных пределах, составляет срок сохраняемость. Срок сохраняемости, который будет достигнут устройством с заданной вероятностью g процентов, называется гамма процентным сроком сохраняемости. Математическое ожидание срока сохраняемости есть средний срок сохраняемости.

13. Последовательный контроль надежности.

граница браковки граница приемки

14. Потоки отказов-восстановлений. Описание потоков, свойства потоков.

В информационных системах непрерывного использования чередуются во времени моменты отказов и восстановлений, образуя поток случайных событий. Обычно рассматривают только моменты отказов, называя последовательность событий потоком отказов, или моменты восстановлений, называя потоком восстановлений. Время между событиями отказов и время между событиями восстановлений представляют сумму времени безотказной работы и времени восстановления. Закон распределения суммы определяется как композиция соответствующих законов. Поэтому оба потока описываются одинаково. Так как для высоконадёжных ИС t_i>>t_I, временем восстановления в описании потока можно пренебречь и рассматривать только потоки отказов. Потоки случайных событий описываются системой непрерывных случайных величин времени между последовательными событиями, а также системой дискретных величин: числа событий за заданные отрезки времени.Так как для высоконадёжных ИС t_i>>t_I, временем восстановления в описании потока можно пренебречь и рассматривать только потоки отказов.

Потоки случайных событий описываются системой непрерывных случайных величин времени между последовательными событиями, а также системой дискретных величин: числа событий за заданные отрезки времени [4, 13, 27]. Обозначим через k(t) случайную величину числа событий за время от 0 до t. Математическое ожидание этой величины называют ведущей функцией потока событий W(t):

где Pk(t) – вероятность появления k событий за время от 0 до t; W(t) – неубывающая функция времени, показывающая, как интенсивно происходит накопление событий с увеличением времени, является интегральной характеристикой потока. Дифференциальные, мгновенные характеристики потока случайных событий: интенсивность потока w(t) – математическое ожидание числа событий в единицу времени и параметр потока m(t) – вероятность хотя бы одного события в единицу времени:

(1.35)

где - вероятность появления хотя бы одного (одного или более) события на интервале времени от t до t+Dt;

M[k(t,t+Dt)]- математическое ожидание числа событий на интервале времени от t до t +Dt.

16 Свойства потоков отказов- восстановления.

Потоки случайных событий могут обладать рядом свойств, упрощающих их описание и решение практических задач.

Ординарность – свойство потока, состоящее в том, что события возникают не группами, а поодиночке, т.е. вероятность появления двух и более событий в интервале от t до t+Dt величина более высокого порядка малости по сравнению с Dt

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся интервалов времени число событий, попадающих в один из них, не зависит от числа событий, попадающих в другие интервалы. Иначе условие отсутствия последействия формулируется так: моменты последующих событий не зависят от моментов предыдущих.

Теорема Хинчина гласит: поток, представляющий собой сумму большого числа независимых потоков, обладает свойством отсутствия последействия.

Ординарный поток без последействия называют пуассоновским потоком, так как число отказов k в интервале времени от t1 до t2 подчиняется закону Пуассона [4]:

(1.38)

где Pk(t1,t2) – вероятность возникновения k отказов;

W(t1,t2) - математическое ожидание числа отказов.

Поток называется стационарным, если вероятность некоторого числа событий в интервале t, t+Dt зависит только от продолжительности интервала Dt и не зависит от времени t:

m(t)=m=const; w(t)=w =const.

15. Приближенные методы расчета надежности. Метод минимальных путей и минимальных сечений.

Расчет надежности сложных резервированных ИВС представляет большие математические трудности, поэтому часто используются приближенные методы расчета. Обычно если расчет производится на ранних стадиях проектирования, исходные данные бывают весьма ориентировочными, законы распределения вообще неизвестны, имеются лишь ориентировочные оценки числовых характеристик. Поэтому нет смысла строить сложные математические модели производить расчеты с большой точностью. Погрешность в полтора-два раза по вероятности отказа обычно считается вполне приемлемой. Но при этом расчет принято строить таким образом, чтобы погрешность шла “в запас“, т.е. оценки показателей надежности были снизу, а оценки ненадежности –сверху. Еще лучше, когда удается получить двусторонние оценки, что позволяет одновременно определить и погрешность расчета.

В тех случаях, когда расчет надежности производится для нескольких проектных решений, с целью выбора лучшего варианта, причем во всех вариантах используется одна и та же элементная база и одинаковая методика расчета, сравнительная точность оценок показателей надежности получится, как правило, существенно выше абсолютной точности полученных значений.

Существует множество подходов и методов получения приближенных оценок показателей надежности. В каждом конкретном случае выбор методов определяется структурой системы, характером процесса отказов – восстановлений, дисциплиной обслуживания, точностью исходных данных и теми мероприятиями, которые предлагается предпринять по результатам расчета. На первом этапе расчета упрощают математическую модель системы. Примером такого упрощения является замена облегченного резерва нагруженным и ненагруженным. В первом случае получается оценка надежности снизу, во втором – сверху. Часто в расчетах надежности резервированных систем не учитывают надежность переключающих устройств. В этом случае получаются оценки надежности сверху, что нежелательно, однако для сравнительных оценок такой прием может быть вполне допустимым.

Для описания процесса отказов – восстановлений используют марковскую модель. Если элементы имеют стареющий закон распределения и время работы не превосходит математическое ожидание, то оценки показателей надежности получаются снизу.

При исследовании надежности систем со сложной структурой резервирования используются различные методы упрощения фазового пространства состояний, наиболее распространенным из которых является метод минимальных путей и минимальных сечений.

Идея метода состоит в том, что система с произвольной структурой приводится к последовательно- параллельной схеме минимальных путей или к параллельно-последовательной схеме минимальных сечений.

Минимальный путь – это множество элементов, работоспособное состояние которых обеспечивает работоспособное состояние системы, причем никакое подмножество этого множества таким свойством не обладает. Минимальное сечение – это множество элементов, отказ которых приводит к отказу системы, и никакое подмножество этого множество таким свойством не обладает

При оценке надежности высоконадежных систем применимы различные методы упрощения, основанные, в частности, на разложении зависимостей в ряд и использовании первых членов ряда, а также другие асимптотические методы. Для схемы, представляющей собой последовательное соединение n элементов при Qc<<1

n n

Qc =1-П (1-Qi)» å Qi, причем оценка ненадежности системы получается сверху и ее

i=1 i=1 относительная погрешность не превышает величину

d=(n-1)/2*Qmax, Qmax= max_i(Qi).

16. Приемо-сдаточные испытания на надежность, однократная выборка.

Цель приёмо-сдаточного контроля – установить соответствует ли изделие требованиям по надёжности. Результатом контроля является приёмка или браковка партии изделий. В терминах математической статистики это проверка гипотезы о том, что значение показателя надёжности лежит в пределах, указанных в нормативно- технической документации. Рассматриваются показатели, которые возрастают с повышением надёжности, например, наработка на отказ, вероятность безотказной работы, при этом считают, что контролируется один показатель; в общем случае используется обозначение R. Так как в процессе испытаний изделия полностью или частично расходуют свой ресурс надёжности, используются методы выборочного контроля.

Если в технической документации указано требуемое значение R _тр, а неизвестная фактическая величина показателя надёжности имеет значение R, то процедуру контроля стремятся построить таким образом, чтобы с возможно более высокой вероятностью при R³R _тр партия изделий принималась, а при R<R _тр – браковалась.

В процессе приёмо-сдаточных испытаний взаимодействуют две стороны поставщик и заказчик, интересы которых в значительной мере противоположны. Поставщик заинтересован минимизировать вероятность a ошибки первого рода, т.е. браковки изделий при R³R _тр, эту вероятность называют риск поставщика. Заказчик заинтересован минимизировать вероятность b ошибки второго рода – приёмки изделий при R<R _тр, эту вероятность называют риск заказчика.

Чтобы минимизировать оба риска возникает, необходимость установить два дополнительных уровня надёжности: приёмочный R₁ и браковочный R₀, которые устраивали бы и заказчика, и поставщика (R₁£R _тр £R₀). Стороны договариваются о том, что заказчик принимает изделие по приёмочному уровню, а риск b – это вероятность принять изделие при R=R ₁ или с ещё более низкой надёжностью; поставщик стремится представить на испытания изделия с показателем надёжности не ниже браковочного уровня, а риск a – это вероятность того, что и при R=R ₀ или с ещё более высокой надёжности изделие всё же будет забраковано.

Величины R₁, R₀, a и b являются предметом договоренности и устанавливаются в зависимости от затрат поставщика на повышение надёжности выше нормативной величины R _тр и от последствий недостаточной надёжности в эксплуатации у заказчика. Если эти затраты у поставщика и последствия у заказчика сопоставимы, то из условий паритета интересов принимают a = b и .

Организация приёмо-сдаточных испытаний включает три этапа: планирование, проведение и анализ полученных результатов. Две точки R₁, b и R₀, 1-a полностью задают оперативную характеристику и позволяют спланировать испытания. В результате планирования определяется объём испытаний V, а также правила браковки и приёмки. Следует иметь в виду, что при назначении уровней надёжности (R₁, R₀) и рисков (a, b), необходимо учитывать реальные материальные и технические возможности: имеющееся число испытываемых изделий N, допустимое время испытаний T и другие.

R - показатель надежности

L(R) - вероятность приемки изделия, кот. зависит от неизвестной нам фактической надежности R и объема испытаний n.

L(R)

- R + R R

0 Rн Rтр Rв

(R1) (Ro)

- риск поставщика. Вероятность того, что поставщик не сможет сдать хорошие изделия.

- риск заказчика. Вероятность того, что заказчик получит плохую продукцию.

= 1-L(Ro); =L(R1),

гдe R1 - нижняя граница надежности

Ro - верхняя граница надежности

Rтр - фактическое неизвестное значение показателей надежности.

При планировании приемосдаточных испытаний ставится цель: определить объем испытаний, т.е. количество изделий, поставленных на испытания (N) и количество отбракованных изделий

(rбр - уровень браковки, при = ); Рассмотрим биномиальные испытания:

Ро = 0,98, Р1 = 0,96, = = 0,1,

получим: N = 473 при rбр >=14;

Этот метод называется методом однократной выборки. Существует еще последовательный контроль.

бр 1 2 3

rуст

rо

t/To Tисп

1 область - область браковки; 2 область - область продолжения испытаний; 3 область - область приемки

Для экспоненциального закона распределения граница области рассчитывается следующим образом:

Достоинства: уменьшение объема испытаний Недостаток: заранее невозможно определить объем испытаний.

17. Приемо-сдаточные испытания на надежность.

Цель приёмо-сдаточного контроля – установить соответствует ли изделие требованиям по надёжности. Результатом контроля является приёмка или браковка партии изделий. В терминах математической статистики это проверка гипотезы о том, что значение показателя надёжности лежит в пределах, указанных в нормативно- технической документации. Рассматриваются показатели, которые возрастают с повышением надёжности, например, наработка на отказ, вероятность безотказной работы, при этом считают, что контролируется один показатель; в общем случае используется обозначение R. Так как в процессе испытаний изделия полностью или частично расходуют свой ресурс надёжности, используются методы выборочного контроля.

Если в технической документации указано требуемое значение R _тр, а неизвестная фактическая величина показателя надёжности имеет значение R, то процедуру контроля стремятся построить таким образом, чтобы с возможно более высокой вероятностью при R³R _тр партия изделий принималась, а при R<R _тр – браковалась.

В процессе приёмо-сдаточных испытаний взаимодействуют две стороны поставщик и заказчик, интересы которых в значительной мере противоположны. Поставщик заинтересован минимизировать вероятность a ошибки первого рода, т.е. браковки изделий при R³R _тр, эту вероятность называют риск поставщика. Заказчик заинтересован минимизировать вероятность b ошибки второго рода – приёмки изделий при R<R _тр, эту вероятность называют риск заказчика.

Чтобы минимизировать оба риска возникает, необходимость установить два дополнительных уровня надёжности: приёмочный R₁ и браковочный R₀, которые устраивали бы и заказчика, и поставщика (R₁£R _тр £R₀). Стороны договариваются о том, что заказчик принимает изделие по приёмочному уровню, а риск b – это вероятность принять изделие при R=R ₁ или с ещё более низкой надёжностью; поставщик стремится представить на испытания изделия с показателем надёжности не ниже браковочного уровня, а риск a – это вероятность того, что и при R=R ₀ или с ещё более высокой надёжности изделие всё же будет забраковано.

Величины R₁, R₀, a и b являются предметом договоренности и устанавливаются в зависимости от затрат поставщика на повышение надёжности выше нормативной величины R _тр и от последствий недостаточной надёжности в эксплуатации у заказчика. Если эти затраты у поставщика и последствия у заказчика сопоставимы, то из условий паритета интересов принимают a = b и .

Организация приёмо-сдаточных испытаний включает три этапа: планирование, проведение и анализ полученных результатов.

18. Простейший поток отказов-восстановлений.

Стационарный ординарный поток без последействия, т.е. стационарный пуассоновский поток, называют простейшим потоком, для которого m=w=const:

(1.39)

Время безотказной работы, т.е. время между двумя последовательными отказами в простейшем потоке подчиняется экспоненциальному закону, функция надежности определяется из формулы (1.39) при k=0:

P(t)=P0(t)=e^-wt=e^-lt; F(t)=1-P(t)=1-e^-wt=1- e^-lt. (1.40)

Здесь l – параметр экспоненциального закона распределения, равный интенсивности отказов, а для простейшего потока он численно равен интенсивности и параметру потока l=w=m.

19. Процесс гибели и его использование для расчета надежности невосстанавливаемых систем.

В общем случае процесс накопления отказов в резервированных системах без восстановления и переход от начального полностью исправного состояния в состояние отказа описывается процессом гибели. Особенность графа переходов процесса гибели состоит в том, что все возможные переходы направлены в одну сторону от состояния полной исправности к состоянию отказа системы, в графе отсутствуют циклы, причем из состояния отказа нет ни одной выходящей стрелки, такое состояние называется поглощающим. В общем случае схемы гибели могут иметь место разветвления. Если в каждой точке разветвления вероятности того, по какой траектории далее пойдет случайный процесс, не зависят от времени, то все траектории можно рассматривать независимо как простые процессы гибели, а общий результат получать по формуле полной вероятности, в которой вероятностями гипотез являются вероятности траекторий процесса. Для учёта надёжности переключателя используется модель сложного процесса гибели. Рассмотрим случай резервирования замещения с ненадежным переключателем. Пусть переключатель может отказывать только в моменты переключений и вероятность успешного переключения a (вероятность отказа 1-a) не зависит от порядкового номера и момента переключения.Число успешных переключений будет подчиняться геометрическому закону распределения, и только при отказе последнего элемента отказ системы будет происходить независимо от исправности переключателя. Откуда

где - вероятность отказа системы, состоящей из k элементов при абсолютно надежном переключателе (рассчитывается с помощью простого процесса гибели).Для нагруженного резерва (параллельное соединение) по формуле (3.8)

Q(t)=F(t)=q1(t)...qm(t)=qm(t)=[1-p(t)]m, где q1(t)=... =qm(t)=q(t) – вероятности отказа основного и резервных элементов; m - число параллельно соединенных элементов.

= qk(t), откуда

Для ненагруженного резерва при марковском процессе гибели

откуда

.

20. Процесс гибели-восстановления и его использование для расчета надежности восстанавливаемых систем.

Расчет над. восстан. систем с нагр. и ненагр. резервом.

Резервирование замещением с ненагруженным резервом. Система состоит из m одинаковых элементов, в каждый момент времени работает один элемент; если он откажет, то заменяется очередным резервным. Каждый отказавший элемент немедленно начинает восстанавливаться, причем число ремонтных бригад таково, что все отказавшие элементы восстанавливаются независимо друг от друга (такой вид восстановления называется неограниченным).

Восстановленные элементы переводятся в резерв. Отказ системы наступает, если откажут все m элементов. Заданы: l – интенсивность отказов элементов, m – интенсивность восстановления элемента. Для марковского процесса (экспоненциального закона распределения) l=1/t₀, t₀ – наработка на отказ элемента, m=1/t _в, t _в – среднее время восстановления. Состояние системы полностью описывается числом отказавших элементов:

0,1,2,...,m-1, m; состояние 0 – система полностью исправна, состояние m – система отказала. Нетрудно видеть, что работа системы представляет собой процесс гибели-восстановления. Подставив соответствующие значения интенсивностей отказов и восстановлений в формулы (2.14), , (2.15)

получим известные формулы Эрланга:

(4.5)

. (4.6)

Вероятность pm численно равна коэффициенту простоя k п:

. (4.7)

Формулы (4.5), (4.6) заметно упрощаются, если ввести относительное время восстановления r=t _в /t₀=l/m.

, .

Так как восстановление одновременно выполняют m бригад, интенсивности выхода из состояния отказа равна mm, среднее время восстановления системы Т в обратно пропорционально интенсивности выхода из состояния отказа Т в =1/mm и выражение для наработки на отказ получится в следующем виде:

. (4.8)

При обычном для высоконадёжных систем условии l<<m (r<<1) формулы (4.6), (4.8) существенно упрощаются

, (4.9)

В случае ограниченного восстановления, если имеется всего одна ремонтная бригада Подставив значения интенсивностей отказов и восстановлений в формулы (2.14), (2.15), получим выражение для вероятности p₀

. (4.10)

В выражении для вероятности p₀ (4.9) стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем r=l/m, откуда окончательно получается

, (4.11)

. (4.12)

Коэффициенты готовности и простоя рассчитываются по формулам (4.7). С учётом того, что работает всего одна ремонтная бригада, интенсивности выхода из состояния отказа равна m, и наработка на отказ рассчитывается по формуле

(4.13)

При условии l<<m (r<<1) формулы (4.12), (4.13) упрощаются

, . (4.14)

Расчет надежности восстан. систем с ненад. перекдюч.

Учет отказов переключателя. Для переключателей характерны два типа отказов:

- несрабатывание в моменты, когда он должен переключиться, показатель надёжности по этому типу отказов – вероятность срабатывания a;

- ложное срабатывание, т.е. несанкционированное переключение, которое может произойти в любой момент времени, показатель надёжности по этому типу отказов – интенсивность ложных срабатываний l _л.

Рассмотрим систему, состоящую из двух элементов, основного (О), резервного (Р) и переключателя (П). Резервирование замещением, резерв облегчённый, интенсивность отказов работающего элемента l₀, интенсивность отказов элемента, находящегося в резерве, l _р, 0< l _р< l₀. Отказы резервного элемента явные. При отказе основного элемента переключатель с вероятностью a производит переключение на резервный, а с вероятностью (1-a) происходит отказ системы. Переключатель может срабатывать ложно с интенсивностью l _л. После отказов элементы и переключатель начинают немедленно восстанавливаться, и после восстановления вновь включаются в работу. Восстановление неограниченное, интенсивность восстановления m _в. При отказе системы восстановление переключателя производится одновременно с восстановлением элементов.

Чтобы проще было составить граф процесса отказов-восстановлений, состояния элементов системы следует закодировать. Элементы могут находиться в одном из двух состояний – работоспособное «0» и отказовое «1». Переключатель может находиться в одном из трёх состояний – работоспособное «0», отказ-несрабатывание «1» и отказ - ложное срабатывание «2». Система (С) может находиться в одном из двух состояний – работоспособное e₀ и отказовое e₁. Отказ системы наступает, если откажут оба элемента основной и резервный или в момент отказа основного элемента не сработает переключатель, или откажет резервный элемент и, несмотря на работоспособное состояние основного элемента, произойдёт переключение на резервный. Коды возможных состояний системы приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

С	О	Р	П	Состояния
e0				Система полностью исправна
e0				Отказал основной элемент, произошло переключение не резерв.
e1				Отказал основной элемент, не сработал переключатель (отказ типа несрабатывание).
e0				Отказал резервный элемент.
e1				Отказали основной и резервный элементы
e0				Произошло ложное переключение с основного элемента на резервный.
e1				Отказал резервный элемент, и произошло ложное переключение на него.

Граф переходов марковского процесса содержит семь состояний. Состояния удобно располагать вверху вниз или слева направо по мере увеличения числа отказов, при этом желательно, чтобы чётко разделялись подмножество работоспособных состояний системы E₀ и подмножество состояний отказа E₁. Граф переходов марковского процесса представлен на

.

Переход «000» ® «100» происходит при отказе основного элемента и успешном срабатывании переключателя с интенсивностью l₀a, переход «000» ® «101» происходит при отказе основного элемента и несрабатывании переключателя с интенсивностью l₀(1-a). Переход «000» ® «010» происходит при отказе резервного элемента с интенсивностью l _р, переход «000» ® «002» происходит при ложном срабатывании переключателя с интенсивностью l _л. Переходы «100» ® «110» и «010» ® «110» происходят при отказе основного или резервного элемента в режиме работы с интенсивностью l₀. Переходы «010» ® «012» и «002» ® «012» происходят при отказе резервного элемента в режиме работы после ложного переключения на него или при ложном переключении на ранее отказавший резервный элемент соответственно с интенсивностью l₀ или l _л.

При восстановлении переходы происходят в обратном порядке. Переходы «100» ® «000», «010» ® «000», «002» ® «000» происходят при восстановлении одного элемента или переключателя с интенсивностью m _в. Переходы «101» ® «000», «012» ® «000» тоже происходят с интенсивностью m _в, так как по условию восстановление одного из элементов и переключателя происходит одновременно. Переход «110» ® «100» происходит с интенсивностью 2 m _в, так как по условию восстановление неограниченное и работает одновременно две бригады.

На основе графа по правилам, изложенным в п.2.2. легко составить систему уравнений Колмогорова, описывающую процесс отказов-восстановлений рассматриваемой системы.

(4.31)

Для решения системы уравнений (4.31) из неё следует исключить любое одно уравнение, кроме последнего, представляющего собой нормирующее условие. В результате решения получаем вероятности всех состояний системы: p₀₀₀, p₁₀₀, p₀₁₀, p₀₀₂, p₁₀₁, p₀₁₂, p₁₁₀.

По стационарным вероятностям состояний системы рассчитываются стационарные коэффициенты готовности, простоя и наработка между отказами

k _г= , k _п= , T₀=(1/k _п -1) . (4.32)

где p_i – вероятность i – го состояния подмножества E₀;

p_j – вероятность j – го состояния подмножества E₁;

l_j – интенсивность выхода из j –го состояния подмножества E₁.

В рассматриваемом нами случае

k _г= p₀₀₀ + p₁₀₀+p₀₁₀+p₀₀₂, k _п= p₁₀₁+p₀₁₂+p₁₁₀,

T₀=(1/k _п -1)(1/m _в+ 1/m _в + 1/2m _в) =(1/k _п -1)×5/2m _в.

21. Расчет надежности невосстанавливаемых систем с параллельно-последовательной структурой, со скользящим и кворумным резервированием.

Предполагается, что параллельная структура соответствует резервному включению элементов. Все элементы основной и резервные одинаковы, независимы и равнонагружены.

Расчет надежности при параллельном соединении основан на теореме умножения вероятностей независимых событий. Так как отказ схемы произойдет, если откажут все элементы, основной и резервные, то для вероятности отказа можно записать формулу:

Q(t)=F(t)=q1(t)... qm(t) = qm(t) = [1 - p(t)]m,

где q1(t)=... =qm(t)=q(t) - вероятность отказа основного и резервных элементов;

m - число параллельно соединенных элементов.

Вероятность безотказной работы резервированной схемы будет равна

P(t) = 1-F(t) = 1- [1-p(t)]m.

При экспоненциальном законе надежности элементов

P(t) = 1 - (1- e-l t)m;

надежность системы не подчиняется экспоненциальному закону.

При l t<<1 P(t)» 1 - (lt)m; Q(t) = (lt)m.

Скользящее резервирование

Обычно система состоит из нескольких групп одинаковых элементов (блоков). Вместо резервирования каждого элемента, можно объединить все резервные элементы и заменять любой из группы отказавший элемент любым элементом из резерва, т.е. использовать скользящее резервирование. Отказ системы наступит в момент отказа одного из основных элементов после того, как были израсходованы все резервные.

Рассмотрим случаи нагруженного и ненагруженного резерва. Имеется n основных и m нагруженных резервных элементов. Система не откажет за время t, если за это время произойдет не более m отказов элементов. Следовательно, вероятность безотказной работы системы при нагруженном резерве

Для экспоненциального закона распределения наработка до отказа системы

В случае экспоненциального закона распределения и ненагруженного резерва надежность системы

Основным недостатком скользящего резервирования является сложность переключателя, поэтому оно находит широкое применение, когда переключение производится путем ручной замены отказавшего элемента (блока) исправным запасным.

Кворумное резервирование

Расчет надежности кворумного резервирования аналогичен расчету при скользящем резервировании с нагруженным резервом. Искажение сигнала на выходе системы не произойдет, т.е. система не откажет, если при общем числе элементов s число искаженных сигналов (отказов) элементов будет меньше порога r кворум-элемента. Вероятность безотказной работы и отказа i-го типа (i = 0;1) для системы равна:

В случае экспоненциального закона распределения наработка до отказа системы

Кворумное резервирование не эффективно при длительной работе системы без восстановления.

Достоинство кворумного резервирования состоит в том, что оно повышает надежность одновременно по обоим возможным типам отказов("ложный 0"и "ложная 1"). В системе с кворумным резервированием с помощью схем несовпадения легко осуществляется контроль и диагностика. После обнаружения отказа несправный элемент может быть отключен для восстановления без нарушения работы системы, при этом только изменятся s и r.

22. Способы обеспечения надежности на стадиях проектирования, производства и эксплуатации. Основные понятия теории надежности.

На стадии проектирования применяются различные мероприятия по повышению надежности:

1) используются элементы и комплектующие изделия повышенной надежности (элементная надежность);

2) схемы разрабатываются, возможно, менее чувствительными к разбросу параметров элементов, вызванному технологией изготовления, воздействием среды, износом, старением (схемная надежность);

3) конструктивные решения учитывают климатические условия работы, для чего применяют герметизацию, кондиционирование, обеспечивают механическую, электрическую прочность и хорошие условия теплоотдачи (конструктивная надежность);

4) используется агрегатный принцип построения схем и конструкций сложных изделий, обеспечивающий легкий доступ для контроля и ремонта систем;

5) вводится широкая унификация технических решений, что способствует отработанности схем, конструкций и технологии изготовления;

6) применяются быстродействующие устройства защиты, предотвращающие развитие аварийных ситуаций (отключение поврежденных блоков и узлов, переход на другие режимы работы и т.п.);

7) используется резервирование элементов и устройств, выполняющих наиболее ответственные функции, а также контроль и техническая диагностика систем (системная надежность).

На стадии производства надежность обеспечивается выполнением ряда условий, связанных со строгим соблюдением технологических процессов при изготовлении, а также применением контроля на всех стадиях производства, включая входной и выходной контроль.

На стадии эксплуатации надежность обеспечивается использованием различных мероприятий по ее поддержанию:

1) аппаратура должна использоваться по назначению в строгом соответствии с техническими условиями (ТУ);

2) система обслуживания должна быть обоснованна и строго регламентирована. Текущие осмотры, чистка и подналадка изделий, профилактический контроль, ремонт и замена износившихся или отказавших изделий должны проводиться с высоким качеством и своевременно;

3) очень важны высокая квалификация и ответственность обслуживающего персонала, навыки в качественном проведении профилактических работ, в отыскании и устранении неисправностей, быстрота замены деталей.

4) поддержание в требуемом объеме и в исправном состоянии запасных устройств и комплектующих частей (ЗИП).