 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Методы его вычисления
|
|
Рассмотрим прямоугольную матрицу
размером 
.
Если в матрице A произвольным образом выбрать k строк и k столбцов, где 
, то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k -го порядка матрицы A. Так на пересечении 1-й и 2-й строк с первым и вторым столбцом матрицы A находится матрица второго порядка
,
определитель которой является минором второго порядка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Наивысший порядок отличных от нуля миноровпрямоугольной матрицы А называется ее рангом и обозначается символом rank A.
Из определения ранга следует, что если ранг матрицы равен r, то в матрице имеется хотя бы один минор r -го порядка, не равный нулю, а все миноры (r+ 1 )- го порядка и более высоких порядков равны нулю.
Для матриц размером m x n разность между наименьшим из чисел 
и рангом матрицы называется дефектом матрицы.
Для квадратной матрицы размером m´ n дефект равен n-r.
Прямоугольная матрица А размером m´n называется матрицей полного ранга, если rank A= min (m,n).
Любой, отличный от нуля минор порядка rank A называется базисным минором матрицы А. Строки и столбцы, на которых расположен базисный минор, называются базисными.
Ниже рассмотрим два наиболее часто используемых метода вычисления ранга матриц: метод окаймления минора и метод элементарныхпреобразований матрицы.
а) МЕТОД ОКАЙМЛЕНИЯ МИНОРА. В этом методе при вычислении ранга матрицы от миноров меньших порядков, начиная с миноров первого порядка, осуществляется переход вычисления миноров больших порядков, придерживаясь следующего правила. Пусть найден минор r-го порядка, то есть Mr¹ 0, тогда для определения ранга матрицы нужно вычислить миноры (r+ 1 )- го порядка, окаймляющие данный минор Mr. Если все миноры равны нулю (r+ 1 )- го порядка и выше равны нулю, ранг матрицы будет равен r. Если же хотя бы один из миноров Mr+1¹ 0, то эту операцию следует применить к нему, причем в этом случае ранг матрицы заведомо больше величины r. Этот метод вычисления ранга матрицы носит название метода окаймления.
ПРИМЕР. Определить ранг матрицы
.
Для вычисления ранга этой матрицы воспользуемся методом окаймления.
Ш а г 1. Выберем произвольно минор первого порядка не равным нулю 
(верхний индекс соответствует порядку номера при вычислении, нижний индекс - порядок минора).
Ш а г 2. Найдем окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю
.
Ш а г 3. Рассмотрим все миноры 3-го порядка, окаймляющие минор 
и 
:
Итак, все миноры 3-го порядка равны нулю.
Ш а г 4. Вычислим теперь минор высшего порядка 
равный 
.
Имеем
.
Следовательно, ранг матрицы равен 2, а дефект 4-2=2 
ЗАМЕЧАНИЕ. Отметим, что для вычисления ранга матрицы методом окаймления количество определителей различных порядков, порождаемых исходной матрицей, требующих вычисления обычно велико. Эти вычисления можно сократить, если вычислять ранг матрицы с помощью метода элементарных преобразований матрицы.
б) МЕТОД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МАТРИЦЫ. Приведем перечень элементарных преобразований, которые изменяя саму матрицу не изменяют ее ранга. Так, матрица A приводится к матрице B элементарными преобразованиями, к которым относятся:
а) если к элементам какой-либо строки прибавить (отнять) элементы другой строки, умножение на произвольное число отличное от нуля;
б) ранг матрицы не изменится, если две строки или два столбца поменять местами;
в) ранг матрицы не изменится, если исключить из матрицы строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией других строк (столбцов);
г) если в результате преобразований элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то ее можно вычеркнуть;
д) ранг матрицы не изменится, если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и то же число.
Итак, в результате таких преобразований получается новая матрица, которая не является исходной, а эквивалентна ей (ранг этих матриц равен).
ПРИМЕР. Применяя элементарные преобразования матрицы, определить ранг матрицы
.
Для вычисления ранга матрицы проведем последовательно следующие элементарные преобразования матрицы.
Ш а г 1. Сначала первый столбец прибавим к четвертому, а затем последовательно умножив его на (-2) и (-3), прибавим соответственно ко второму и третьему столбцам.
Ш а г 2. Исключим второй и третий столбцы, так как они получаются из четвертого столбца умножением на (-5).
Итак, имеем
.
Очевидно, что ранг последней матрицы равен 2, так как имеется
.
Следовательно, 
. 
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 463 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
