Раскрытие некоторых неопределенностей

Раскрытие неопределенностей − это методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, т. е. переходят в выражения (неопределенности) типа , по которым нельзя судить о том, существуют или нет искомые пределы.

Рассмотрим дробную рациональную функцию, т. е. отношение двух многочленов

.

1. Пусть х → а.

Если , то

Если Р_n (a) ¹ 0, Q_m (a) = 0, то .

Если Р_n (a) = 0, Q_m (a) = 0, получим неопределенность . Для того, чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо выделить критический множитель (т. е. множитель равный нулю при х = а) (х – а) и сократить дробь один или несколько раз на этот множитель.

2. Пусть х ® ¥ и и . Получим неопределенность . В этом случае надо и числитель и знаменатель дроби разделить на старший член числителя или знаменателя . В результате получим

т. е. предел дробной рациональной функции при х → ¥ равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше степени знаменателя.

3. Выражения, содержащие иррациональности в числителе и знаменателе и дающие неопределенность вида , приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной.

Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

4. При нахождении пределов могут встретиться неопределенности вида ¥ – ¥ и 0∙¥. Каждый из этих случаев путем преобразования данной функции можно привести к неопределенности вида или .