Доказательство

Следствие. Если событие и независимы, то и также независимы.

Вообще, введенное определением 3.2 понятие независимости обладает всеми свойствами, которых требует интуиция. Для того чтобы определение независимости событий было столь же хорошим, его можно вводить так.

Определение 3.3. События называются независимыми в совокупности, если для любых из них выполняется соотношение

.

Если это соотношение выполняется только при , то события называются попарно независимыми.

Понятно, что из независимости в совокупности следует попарная независимость, обратное неверно.

Пример 3.1. (Бернштейна). Пусть имеется правильный тетраэдр. Раскрасим его грани следующим образом: первую покрасим в красный цвет, вторую – в синий, третью – в зеленый, а четвертую покрасим в три цвета: красный, синий, зеленый. Будем теперь подбрасывать этот тетраэдр, он ляжет на стол одной из граней и будем изучать цвет этой грани. Обозначим через событие: на грани есть красный цвет, синий цвет, зеленый цвет. Множество элементарных событий будет состоять из четырех элементов (у тетраэдра 4 грани), поэтому, , так как такие цвета находятся на двух гранях (одна целиком закрашена, другая грань на треть). Понятно, что

; ; ; .

; ;

,

т.е. наши события попарно независимы, однако

.

Пусть пространство представлено в виде суммы

,

где при . Тогда говорят, что события составляют полную группу событий, иногда события называют гипотезами. Для произвольного события имеет место формула:

,

которая называется «формулой полной вероятности». Формула полной вероятности, с точки зрения математики, выводится довольно просто. Она может применяться для задания вероятностей на множестве элементарных событий.

Задача 3.2. Три станка штампуют детали, причем первый станок производит 40 % всей продукции, второй станок – 10 % и третий станок 50 %. Доля бракованных деталей, произведенных первым станком – 5 %, вторым станком – 2 %, третьим станком – 3 %. Чему равна вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной?

Решение. Обозначим через гипотезы, состоящие в том, что деталь сделана -м станком. Событие А – взятая деталь бракованная, тогда

.

Решим теперь эту же задачу, используя классическую схему.

Рассмотрим в качестве совокупность всех деталей, изготовляемых тремя станками. По условию

,

где – множество деталей, изготовляемых -м станком, А – событие: взятая деталь бракованная.

По условию

, , ,

, , .

Поэтому,

,

т.е. мы получаем тот же ответ. Таким образом, формула полной вероятности позволяет получить ответ, минуя построение пространства элементарных событий.

Задача 3.3. В первой урне 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

Решение. Обозначим через событие: из третьей урны вынули белый шар. Введем гипотезы:

из 1-й урны удалили белый шар, из 2-й – белый шар,

из 1-й урны удалили белый шар, из 2-й – черный шар,

из 1-й урны удалили черный шар, из 2-й – белый шар,

из 1-й урны удалили черный шар, из 2-й – черный шар.

Тогда

По формуле полной вероятности

.

Задача 3.4. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных, а во второй – 1 белый и 7 красных. В первую урну добавляются два шара, случайно выбранных из второй урны. Найти вероятность того, что шар, выбранный из пополненной урны, будет белым.

Решение. Пусть событие из пополненной урны вынули белый шар. Введем гипотезы.

добавили 1 белый и 1 красный шар,

добавили 2 красных шара,

Итак,

Задача 3.5. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу извлекают 2 шара и добавляют в урну 1 белый шар. Найти вероятность того, что после этого:

а) наудачу выбранный шар будет белым;

б) выбранные шаров будут белыми.

Решение. Введем гипотезы: извлекли 2 белых шара, извлекли 1 белый и 1 черный шар, извлекли 2 черных шара. Тогда

а) наудачу выбранный шар будет белым:

По формуле полной вероятности:

.

б) Из условия задачи ясно, что может принимать только значения Обозначим через – соответствующие события. мы нашли в пункте а).

(так как в урне всего один белый шар).

; , поэтому

, .

, поэтому .

Задача 3.6. Имеется 5 урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара, в 4-й и 5-й урнах – по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение. Введем гипотезы: выбрана -я урна. Событие – извлечен белый шар.

Итак, .

Если выполнены условия применимости формулы полной вероятности, то верна формула Байеса:

.

Задача 3.7. Студент выучил из экзаменационных билетов. Какова вероятность того, что он вытянет "счастливый" билет? Каким он должен идти на экзамен для получения положительной оценки: первым или последним, если группа состоит из человек?

Решение. Обозначим через событие, состоящее в извлечении «счастливого» билета после извлечений билетов. По результатам предыдущих опытов можно сделать гипотез. Пусть гипотеза означает, что из извлеченных билетов «счастливых» было . Вероятности этих гипотез

,

причем . Так как осталось билетов, из которых выигрышных, то при

По формуле полной вероятности находим:

где при .

Данное равенство можно записать также в виде:

Имеем:

Т.е. справедливо равенство: .

Искомая вероятность при любом . Таким образом, каждый билет с одинаковой вероятностью может оказаться счастливым, и очередность захода на экзамен не имеет значения.

Задача 3.8. Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и "тире". Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем сообщений "точка" и сообщений "тире". Известно, что среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в отношении . Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:

1) принят сигнал "точка";

2) принят сигнал "тире".

Решение. Пусть событие - принят сигнал "точка", а событие - принят сигнал "тире". Можно сделать две гипотезы: - передан сигнал "точка", - передан сигнал "тире". По условию: Кроме того, . Поэтому,

, .

Известно, что

Вероятности событий и находим по формуле полной вероятности:

Искомые вероятности будут:

1) ,

2)

Задача 3.9. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

Решение. Введем гипотезы: – в урне белый шар, – в урне черный шар. Событие – извлекли белый шар.

; ; : .

По формуле Байеса найдем

.

Задача 3.10. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равна . Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?

Решение. Введем гипотезы: – второй стрелок попал в мишень, – второй игрок промахнулся. Событие – в мишени две пробоины.

,

т.е. попал либо первый стрелок, либо третий стрелок.

– попали первый и третий стрелки.

.

Задача 3.11. В урне находится 3 черных и 2 белых шара. Первый игрок извлекает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если среди вынутых шаров больше было черных, в противном случае возвращает белый шар. Второй игрок извлекает после этого один шар и по его цвету должен угадать число белых шаров среди трех шаров, вынутых первым игроком. Найти условную вероятность того, что у первого игрока было:

а)0 белых шаров,

б) 1 белый шар,

в) 2 белых шара,

– если второй игрок вытащил белый шар.

Решение. Введем гипотезы: – 1 игрок извлек 3 черных шара, – 1 игрок извлек 2 черных и 1 белый шар, – 1 игрок извлек 1 черный и 2 белых шара. Событие - второй игрок извлек белый шар. Тогда

; ; ; . (белые шары не извлекались).

. (возвращен только один белый шар).

. (вынут один белый шар, а возвращен черный).

Теперь по формуле полной вероятности

,

а по формуле Байеса

a) ;

b) ;

c) .

Приведем в заключение этого параграфа задачу, решение которой требует составления уравнения.

Задача 3.12. Известно, что вероятность двум близнецам быть одного пола , причем вероятность рождения мальчика . Найти вероятность того, что второй из близнецов мальчик, при условии, что первый из них мальчик.

Решение. Пусть – вероятность рождения второго мальчика, – рождение мальчика вообще, – вероятность рождения девочки первой при условии, что второй мальчик, – вероятность рождения первого мальчика, при условии, что второй мальчик, – вероятность рождения мальчика и девочки, – вероятность рождения девочки и мальчика,

,

По условию

,

По формуле полной вероятности

,

откуда

или .

Итак, .