Понятие передаточной функции и ее использование в теории информации

<Теорема> Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы.

<пояснение>

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Примером могут служить механические системы (движущиеся группы тел) или физические процессы.

Реальным физическим системам, моделируемым математическим понятием «динамической системы», приписывается важное свойство детерминированности: зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать все ее дальнейшее поведение.

</пояснение>

Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной инвариантной во времени системы.

<пояснение>

Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Широко используется в процессе управления техническими системами, цифровой обработке сигналов и других областях инженерного дела.

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

§ Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы -

тогда сигнал на выходе системы -

для любых постоянных A и B, где y_i (t) — выход системы как реакция на входной сигнал x_i (t).

§ Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

</пояснение>

Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

<Пример>

Линейные стационарные системы

Пусть — входной сигнал линейной стационарной системы, а — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

	Y (s)
W (s) =
	U (s)

,

где и — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

,

.

[править]Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть — входной дискретный сигнал такой системы, а — её дискретный выходной сигнал, . Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

	Y (z)
W (z) =
	U (z)

,

где и — z-преобразования для сигналов и соответственно:

,

.

</Пример>

</Теорема>