Круглый волновод (волна Е)

Для упрощения задачи анализа будем считать волновод бесконечной, регулярной и идеально проводящей линией передач. При этом среду будем считать идеальным диэлектриком.

Введем цилиндрическую систему координат.

(1) (2)

(3)

Уравнение (3) в полярной системе координат примет вид:

(4)

Уравнение (4) в сферической системе координат имеет вид:

(5)

Подставив (5) в (4), умножив обе части на r ², выполнив дифференцирование и разделив полученное уравнение на , получим:

(6),

Левая часть (6) зависит только от r, правая - только от j. Переменные r и j - независимые. Следовательно (6) - равенство двух независимых функций. Это возможно, если каждая из функций равна постоянной. Обозначая постоянную m ², приходим к двум дифференциальным уравнениям:

(7),

(8),

(9),

(10),

Решение уравнения (7) имеет вид: (11),

где A и B - произвольные постоянные. Условие (10) выполняется, если m =0,1,2...

(12),

Уравнение (8) является уравнением Бесселя. Его решение можно представить в виде: (13),

где и - функции Бесселя m -го порядка первого и второго рода, а - произвольные постоянные.

В отношении (9) функция Бесселя второго рода при стремится к ¥. Так как напряженность поля в любой точке волновода должна быть ограничена, то необходимо потребовать . Тогда

(15),

где - амплитуда продольной составляющей электрического поля.

Запишем уравнения связи для цилиндрической системы координат: :

(16)

(17)

(18),

где штрих означает дифференцирование по всему аргументу функции Бесселя.

Согласно граничному условию

(19),

Подставляя (19) в (15), получаем

(20),

Имеется бесконечно большое число значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называются корнями функции Бесселя. Обозначая n -й корень функции Бесселя m -го порядка через , из (14) находим , откуда

Нумерация Е волн, отличающихся друг от друга по структуре поля в плоскости поперечного сечения волновода, осуществляется в соответствии с порядковым номером корня уравнения (14). При этом индекс m соответствует числу целых стоячих волн поля, укладывающихся по окружности волновода, а индекс n характеризует распределение стоячих волн вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней функции Бесселя в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн представлены в таблице.

Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E ₀₁.

Тип волны	E01	E11	E21
	2.405	3.832	5.135
	2.613	1.640	1.223

, , , ,

72.Поперечные электромагнитные волны (Т).

Поперечными или волнами типа «Т» называются волны, у которых в продольном направлении в направлении распространения энергии отсутствуют составляющие векторов напряженности электрического и магнитного полей. Векторы и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Регулярной называют бесконечно длинную направляющую систему с неизменным поперечным сечением и неизменными граничными условиями.

Однородной называют регулярную направляющую систему у которой электродинамические параметры неизменны на протяжении всей направляющей системы.

Рассмотрим произвольную бесконечно длинную направляющую систему, ориентированную вдоль оси Z. Будем полагать, что направляющая система не вносит потерь и однородна.

Так как линия передач бесконечна, то можно считать, что сторонние источники находятся вне рассматриваемой области, а значит, что структура поля описывается однородными уравнениями Гельмгольца:

(1),

(2),

Так как по условию в линии передач существует направленная волна, а линия передач ориентированна вдоль оси Z, тогда для любой волны справедливы соотношения:

(3),

(4),

где h – постоянная распространения или фазовая постоянная в линии передач;

и – описывают распределение волн в поперечном сечении.

Будем считать, что поперечное сечение может быть описано в декартовой системе координат, тогда:

.

Подставляя (3) и (4) в (1) и (2), при получим:

(5),

(6),

Обозначим разность в скобках как g², где g – поперечное волновое число.

(7),

тогда (5) и (6) примут вид:

(8),

(9),

Поперечные составляющие можно выразить через продольные с помощью первого и второго уравнения Максвелла:

(10) (11);

Преобразовав, получим:

; (12);

; (13)

Решая (12) и (13) относительно и , получаем:

=>

=> (14)

(15)

Аналогично, из (14) и : (16) (17),

Система уравнений (14) – (17) связывает поперечные и продольные составляющие поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к векторной форме уравнений. Введем вектор . Подставляя в это выражение вместо и их значения из (14) – (17), получим:

.

Введя обозначение

и учитывая, что

получим: (18),

Аналогично, получается равенство:

(19),

Таким образом для нахождения структуры полного поля необходимо решить с учетом граничных условий два дифференциальных уравнения:

(20),

(21).

и воспользоваться равенствами (18) и (19) для определения поперечных составляющих.

85. Коаксиальная линии передачи Н_z = 0 E_z = 0

В коаксиальной линии могут наряду с волной типа “Т” распространяется волны типа “E” и “H”, но здесь они являются высшими волнами и не рассматриваются.

Продольные составляющие полей в волноводе возникают за счет явления многократного отражения от стенок волновода.

Введем в волновод плоскую электромагнитную волну (рис. 2). Неизбежно в этом случае появляется

продольная составляющая поля за счет того, что поле Н замыкается само на себя (div H = 0).

При отсутствии продольных составляющих как электрические, так и магнитные поля расположены в плоскости поперечного сечения. Это можно сделать, если в линию передачи ввести еще один дополнительный проводник.

В волноводе волна типа “Т” не может распространяется.

Для расчета полей такой линии передачи воспользуемся законом полного тока. С этой целью выберем контур, охватывающий ток с радиусом r (см. рис. 1)

Все как в плоской электромагнитной волне.

Поле волны Т в коаксиальной линии.

58. Понятие о магнитном токе. Бесконечно тонкая пластина, по которой протекает электрический ток. В близости он нее магнитные линии повторяют контуры проводника. При удалении от нее они постепенно превращаются в окружность. В силу полной симметрии задачи на поверхности S тангенциальная компонента магнитного поля равна 0 (на поверхности S) вне проводника на проводнике Рассмотрим две полубесконечных, разнополярных, металлических пластины, расположенные в плоскости S. Толщина исчезающе мала (бесконечно тонкие пластины). Между ними зазор D. Силовые линии также превращаются в окружности. вне зазор в зазоре Из сопоставления двух рисунков видно, сто с точностью до направления силовых линий рисунки совпадают. Из этого совпадения делают заключение, что в зазоре параллельно его кромкам протекает магнитный ток, который и возбуждает подобное электрическое поле. В природе в настоящее время магнитных зарядов и токов не обнаружено, но введение подобным образом магнитных токов существенно упрощает решение многих задач. 57. Мощность измерения элементарного электрического излучателя. Сопротивление излучения. Т. к. излучение в форме бегущей волны существует в ДЗ, то наш анализ должен относится исключительно к ДЗ. В ДЗ составляющие поля имеют вид: (1) (2) Вычислим П_ср, а затем, т. к. ЭЭИ является единственным, найдем . Замкнутая поверхность должна охватывать ЭЭИ и находится в ДЗ. Форма ее может быть произвольная. Наиболее просто интегрирование осуществляется для сферической поверхности. Вычислим П_ср: Осуществим интегрирование в сферической системе координат. Учтем, что . Получим Учитывая, что (табличный) получим: (3) Из (3) следует, что мощность излучения пропорционально квадрату амплитуды тока в ЭЭИ. Возникают ассоциации с обычным электротехническим определением: (4) В связи с этим R_S называют сопротивлением излучения Преобразуем: , , (5) Если речь идет о воздушном пространстве или вакууме, для которого Ом получим: (6) Из выражения для мощности излучения следует, что при постоянном токе ростом сопротивления излучения мощность также возрастает. Поэтому, когда анализируют излучение, отмечают, что сопротивление излучения характеризует излучательную способность антенны, подчеркивая тем самым приведенную логическую связь: Поэтому с точки зрения антенных свойств (антенна предназначена для наиболее полного излучения мощности, подводимой к ее входу) ЭЭИ является плохой антенной (маленькое сопротивление, мощность при постоянном токе).   61. Теорема взаимности для двух элементарных излучателей. Пусть в некоторой точке 1 находится ЭЭИ, который характеризуется , . В точке 2 второй излучатель: , Обозначим — напряженность электрического поля возбуждаемого первым излучателем в месте расположения второго. И соответственно . Для данной задачи лемма Лоренца: (1) Интеграл в (1) отличен от нуля только в точках пространства, где отлична от 0, т. е. в пределах объемов занимаемых излучателями. Поэтому (1) можно переписать следующим образом: Или (2) где V_В1 и V_В2 объемы, занимаемые первым и вторым излучателями (вибраторами). Ввиду малости излучателей можно считать, что , Из сделанных выводов можно записать: (3) Элементы объема dV можно записать следующим образом 1: 2: где и — площадь поперечного сечения первого и второго излучателей. Учитывая, что d ЭЭИ << длины можно предполагать, что амплитуда векторов объемной плотности электрического тока в пределах поперечного сечения неизменна: В силу малости ЭЭИ, амплитуду тока можно считать неизменной. Поэтому можно вынести за знак интеграла: (4) (5) Теорема взаимности ЭЭИ. Позволяет определить любую из величин входящих в (5). Теорема взаимности может быть получена для ЭМИ. Используя лемму Лоренца и аналогичные преобразования легко можно получить: (6) Используя лемму Лоренца можно получить и для разноименных излучателей. В этом случае лемма Лоренца выглядит следующим образом: После преобразований в итоге получим: (7) 1 — ЭЭИ, 2 — ЭМИ.   64. Строгая постановка задачи дифракции. В большинстве реальных электромагнитных задачах поверхность раздела сред нельзя считать безграничной и плоской. А падающую волну плоской электромагнитной волной. В этом случае при падении электромагнитной волны на конечных размеров наряду с явлением отражения и преломления возникает процесс называемый дифракцией. В этом разделе будут рассмотрены методы решения задач рассеяния электромагнитной волны на металлических, расположенных в однородном изотропном пространстве. Волны будем считать гармоническими, металлические тела — идеально проводящими, а бесконечное изотропное пространство без потерь. Процесс дифракции можно описать следующим образом: Падающие электромагнитные волны (предполагается известными) наводят на металлических телах поверхностные токи. Эти токи, в свою очередь, возбуждают вторичные электромагнитные волны. Задача дифракции, таким образом, сводится к вычислению вторичного электромагнитного поля. Достаточно вычислить только одну компоненту Е или Н так как они связаны через уравнения Максвелла. Сформулируем математически задачу дифракции. Составляющие падающей волны , ; составляющие вторичного поля , . Во внешнем пространстве, по отношению к рассеивающему телу, вектор удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца. (1) на поверхности S рассеивающего тела суммарная тангенциальная компонента электрического поля: (2) В точках бесконечно удаленных от рассеивающего тела вторичное поле должно удовлетворять условию излучения на бесконечность: (3) В ряде задач бывает удобно провести подобное рассмотрение относительно магнитного поля (4) В этом случае граничное условие (2) можно переписать, используя первое уравнение Максвелла: (5) Часто при решении задач второго вида бывает удобно записывать граничные условия относительно нормальных компонент: (6) Задача второго вида тоже должна быть дополнена (7) Сформулированные задачи дифракции относительно и имеют одинаковое решение, если рассеивающее тело не имеет ребер, изломов. Если на теле имеются изломы поверхности, то при решении задачи приведенные соотношения должны быть дополнены дополнительным условием: условием на ребре.     66. Приближение Гюйгенса-Кирхгофа. Ранее было отмечено, что поле в любой точке пространства внешнего по отношению к объему V может быть однозначно определено по известным тангенциальным составляющим и на поверхности S. В качестве поверхности S в задачах дифракции удобно взять поверхность дифрагированного тела. Если на этой поверхности известны точные значения Е_t и Н_t, то используя принцип эквивалентности на поверхности S можно определить эквивалентные источники вторичного поля и далее, используя традиционный алгоритм, вычислить поле в заданной точке. Но для точного вычисления Е_t и Н_t на поверхности S необходимо решить дифракционную задачу, т.е. круг замкнулся. Эта трудность может быть преодолена, если Е_t и Н_t на поверхности S вычислить используя приближенные методы. При этом полученные решения дифракционной задачи так же будут приближенные. Рассмотрим два характерных примера: 1.Пусть на идеально проводящую поверхность S падает электромагнитная волна. Источник расположен в точке Q. В данной задаче предполагается, что размеры тела и минимальный радиус кривизны >>l. 2. l >>l R >>l (1)На поверхности S тангенциальная компонента равна 0. При условии (1) можно пренебречь затеканием поверхностных электрических токов на “теневую” часть поверхности S (часть поверхности тела, которая видна из точки расположения источника называемой "освещенной", остальная часть называется "теневой"). . При этом на "освещенной" части поверхности S в каждой точке плотность поверхностного тока будет такая же, какой она была бы при том же источнике на идеально проводящей плоскости, касательной к поверхности S в данной точке. Эти предположения являются приближенными. Определим величину тока конкретно в точке N. Для этого проведем касательную. В точке N, как в начале координат, построим декартову систему. совпадает с осью Z. Определим величину поверхностных токов, возбуждаемых на идеально проводящей касательной плоскости при той же системе источников. ,где Первичное поле (поле падающей волны) предполагается известным и в частности равно магнитному полю, возбуждаемому в точке N в отсутствие идеально проводящей плоскости. Вторичное поле возникает как результат протекания поверхностных токов. Таким образом, в точке N поверхностный ток (2) Очевидно. Под идеально проводящей плоскостью электромагнитное поле отсутствует. Это можно аргументировать тем, что поверхностные токи возбуждают в нижнем полупространстве магнитное поле, равное по величине магнитному полю источника и противоположно ему по знаку. (3)Кроме того, из метода зеркальных изображений известно, что в точках, симметричных относительно идеально проводящей плоскости, магнитное поле равно по величине и противоположно по знаку. , (4)Таким образом в точке N: (5)После получения (5) задача определения вторичного поля становится традиционной. (6)где R - расстояние от элемента поверхности dS до точки наблюдения. (7) (8) Определение вторичного поля через векторный электрический потенциал не единственно возможный. Можно: 1.Освещенную поверхность с найденным распределением поверхностного тока можно рассматривать как ЭЭИ. Тогда поле в заданной точке может быть найдено как суперпозиция полей, возбуждаемых отдельными ЭЭИ. 2. Рассмотрим дифракцию плоской волны на отверстии в идеально проводящей плоскости. Уравнение плоской волны, падающей на этот экран ; ; Поверхность интегрирования расположим с тыльной стороны поверхности S. Она оказывается совпадающей с отверстием, а вне отверстия совпадает с теневой частью металлического экрана. При выполнении условия l >>l можно пренебречь затеканием поверхностных токов на теневую часть плоскости. Кроме того, если размеры отверстия >>l, то поле в отверстии можно считать совпадающим с полем падающей плоской волны при Z=0. В дальнейшем задача сводится к следующему. Площадь отверстия разбиваем на элементарные площадки с известным распределением электромагнитного поля (элементы Гюйгенса). В этом случае поле за отверстием можно найти как суперпозицию полей, возбуждаемых отдельными элементами Гюйгенса. Рассмотренные методы решения дифракционных задач называются приближением Гюйгенса-Кирхгофа. Метод является принципиально приближенным, тем не менее, он позволяет получить удовлетворительные результаты в максимуме интенсивности поля. Приближение Гюйгенса-Кирхгофа называется методом физической оптики.     70.Связь между продольными и поперечными составляющими полей в регулярной направляющей системе Регулярной называют бесконечно длинную направляющую систему с неизменным поперечным сечением и неизменными граничными условиями. Однородной называют регулярную направляющую систему у которой электродинамические параметры неизменны на протяжении всей направляющей системы. Рассмотрим произвольную бесконечно длинную направляющую систему, ориентированную вдоль оси Z. Будем полагать, что направляющая система не вносит потерь и однородна. Так как линия передач бесконечна, то можно считать, что сторонние источники находятся вне рассматриваемой области, а значит, что структура поля описывается однородными уравнениями Гельмгольца: (1), (2), Так как по условию в линии передач существует направленная волна, а линия передач ориентированна вдоль оси Z, тогда для любой волны справедливы соотношения: (3), (4), где h – постоянная распространения или фазовая постоянная в линии передач; и – описывают распределение волн в поперечном сечении. Будем считать, что поперечное сечение может быть описано в декартовой системе координат, тогда: .   Подставляя (3)и (4) в (1) и (2), при получим: (5), (6), Обозначим разность в скобках как g², где g – поперечное волновое число. (7), тогда (5)и (6) примут вид: (8), (9),   Поперечные составляющие можно выразить через продольные с помощью первого и второго уравнения Максвелла: (10) (11); Преобразовав, получим: ; (12); ; (13)   Решая (12) и (13) относительно и , получаем: => => (14) (15) Аналогично, из (14) и : (16) (17), Система уравнений (14) – (17) связывает поперечные и продольные составляющие поля в декартовой системе координат. Для выражения этой связи в произвольной системе координат перейдем к векторной форме уравнений. Введем вектор . Подставляя в это выражение вместо и их значения из (14) – (17), получим: . Введя обозначение и учитывая, что получим: (18), Аналогично, получается равенство: (19), Таким образом для нахождения структуры полного поля необходимо решить с учетом граничных условий два дифференциальных уравнения: (20), (21). и воспользоваться равенствами (18) и (19) для определения поперечных составляющих.   82.Круглый волновод (волна Н). ) Будем рассуждать аналогично случаю с электрическими волнами (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Подставляя (5) в (8), получим J’_m (ga)=0 (9) Обозначив n -тый корень уравнения (9), как , получим , (10) Несколько первых корней функции Бесселя в порядке их возрастания и соответствующие длины волн представлены в таблице.

Тип волны	H11	H21	H01
	1.84	3.05	3.83
	3.41	2.06	1.64

Низшим типом среди не только волн H, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из сравнения двух таблиц, является волна H ₁₁.

(11),

Поэтому уравнение эквивалентно уравнению

(12),

При m =0 уравнение (20) примет вид

(13),

Отсюда: (14).

т.е , и в круглом волноводе волны E_1n и H_0n являются вырожденными.

Диаграмма типов волн:

83. Токи на стенках прямоугольного и круглого волноводов.

Предположим, что стенки волновода являются идеально проводящими. В этом случае токи проводимости текут по поверхности стенок. Плотность поверхностного тока численно равна напряженности тангенциальной составляющей магнитного поля у поверхности проводника. Вектор плотности поверхностного тока направлен нормально к вектору напряженности магнитного поля

(1)

Плотность продольного тока на широкой стенке равна:

(2)

Распределение показано на рис. Продольные токи на нижней и верхней стенках противофазны.

Плотность поперечного поверхностного тока на широких стенках

(3)

Распределение показано на рис. На узких стенках, параллельно оси y, поверхностный ток определяется только составляющей магнитного поля и, соответственно, имеет только составляющую .

Определим структуру поперечных токов для узких стенок:

(4)

Модуль комплексной плотности тока в любой точке поверхности широких стенок волновода

(5)

Распределение суммарной плотности тока показано на рис.

Токи в круглом волноводе при распространении волны H ₁₁

У поверхности волновода имеются две отличные от нуля составляющие вектора напряженности магнитного поля H _j и H_z, которым, согласно (1), (где следует положить ) соответствуют составляющие тока проводимости .

Токи в круглом волноводе при распространении волны H ₀₁

У поверхности волновода отлична от нуля лишь продольная составляющая магнитного поля, которая по всему периметру волновода равна

(6).

На стенках волновода существуют только поперечные поверхностные токи (кольцевые токи). Плотность этих токов одинакова по всему периметру волновода и описывается выражением (6)