Вопрос. Код Хэмминга – систематический код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, расположенных по строго определенной системе

Код Хэмминга – систематический код, то есть состоящий из информационных и корректирующих символов, расположенных по строго определенной системе, имеющих одинаковую длину и всегда занимающих строго определенные места в кодовых комбинациях.

Эти коды способствуют находить и исправлять ошибки.

Предположим, что нужно сгенерировать код Хемминга для некоторого информационного кодового слова. В качестве примера возьмём 15-битовое кодовое слово x ₁... x ₁₅, хотя алгоритм пригоден для кодовых слов любой длины. В приведённой ниже таблице в первой строке даны номера позиций в кодовом слове, во второй — условное обозначение битов, в третьей — значения битов.

Вставим в информационное слово контрольные биты r ₀... r ₄ таким образом, чтобы номера их позиций представляли собой целые степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16... Получим 20-разрядное слово с 15 информационными и 5 контрольными битами. Первоначально контрольные биты устанавливаем равными нулю. На рисунке контрольные биты выделены розовым цветом.

В общем случае количество контрольных бит в кодовом слове равно двоичному логарифму числа бит кодового слова (включая контрольные биты), округлённому в большую сторону до ближайшего целого. Например, информационное слово длиной 1 или 2 бита требует двух контрольных разрядов, 3- или 4-битовое информационное слово — трёх, 5...11-битовое — четырёх, 12...26-битовое — пяти и т.д.

Добавим к таблице 5 строк (по количеству контрольных битов), в которые поместим матрицу преобразования. Каждая строка будет соответствовать одному контрольному биту (нулевой контрольный бит — верхняя строка, четвёртый — нижняя), каждый столбец — одному биту кодируемого слова. В каждом столбце матрицы преобразования поместим двоичный номер этого столбца, причём порядок следования битов будет обратный — младший бит расположим в верхней строке, старший — в нижней. Например, в третьем столбце матрицы будут стоять числа 11000, что соответствует двоичной записи числа три: 00011.

В правой части таблицы мы оставили пустым один столбец, в который поместим результаты вычислений контрольных битов. Вычисление контрольных битов производим следующим образом. Берём одну из строк матрицы преобразования (например, r₀) и находим её скалярное произведение с кодовым словом, то есть перемножаем соответствующие биты обеих строк и находим сумму произведений. Если произведение получилось больше единицы, находим остаток от его деления на 2. Иными словами, мы подсчитываем сколько раз в кодовом слове и соответствующей строке матрицы в одинаковых позициях стоят единицы и берём это число по модулю 2.

Если описывать этот процесс в терминах матричной алгебры, то операция представляет собой перемножение матрицы преобразования на матрицу-столбец кодового слова, в результате чего получается матрица-столбец контрольных разрядов, которые нужно взять по модулю 2.

Например, для строки r₀:

r₀ = (1·0+0·0+1·1+0·0+1·0+0·0+1·1+0·0+1·0+0·0+1·1+0·0+1·1+0·1+1·1+0·0+1·0+0·0+1·0+0·1) mod 2 = 5 mod 2 = 1.

Полученные контрольные биты вставляем в кодовое слово вместо стоявших там ранее нулей. Кодирование по Хэммингу завершено. Полученное кодовое слово — 10110010001011110001.