Простейшие потоки событий

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек на числовой оси (рис. 19.3.1), соответствующих моментам появления событий.

Рис. 19.3.1.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

В настоящем мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной (рис. 19.3.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона (см. 5.9).

Простейший поток играет в теории массового обслуживания особенно важную роль. Во-первых, простейшие и близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике (причины этого изложены выше). Во-вторых, даже при потоке заявок, отличающемся от простейшего, часто можно получить удовлетворительные по точности результаты, заменив поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Поэтому займемся подробнее простейшим потоком и его свойствами.

Рассмотрим на оси простейший поток событий (рис. 19.3.3) как неограниченную последовательность случайных точек.

Рис. 19.3.3.

Выделим произвольный участок времени длиной . В главе 5 ( 5.9) мы доказали, что при условиях 1, 2 и 3 (стационарность, отсутствие последействия и ординарность) число точек, попадающих на участок , распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием

, (19.3.2)

где - плотность потока (среднее число событий, приходящееся на единицу времени).

Вероятность того, что за время произойдет ровно событий, равна

. (19.3.3)

В частности, вероятность того, что участок окажется пустым (не произойдет ни одного события), будет

. (19.3.4)

Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями. Рассмотрим случайную величину - промежуток времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке (рис. 19.3.3) и найдем ее функцию распределения

.

Перейдем к вероятности противоположного события

.

Это есть вероятность того, что на участке времени длиной , начинающемся в момент появления одного из событий потока, не появится ни одного из последующих событий. Так как простейший поток не обладает последействием, то наличие в начале участка (в точке ) какого-то события никак не влияет на вероятность появления тех или других событий в дальнейшем. Поэтому вероятность можно вычислить по формуле (19.3.4)

,

откуда

. (19.3.5)

Дифференцируя, найдем плотность распределения

. (19.3.6)

Закон распределения с плотностью (19.3.6) называется показательным законом, а величина - его параметром. График плотности представлен на рис. 19.3.4.

Рис 19.3.4.

Показательный закон, как мы увидим в дальнейшем, играет большую роль в теории дискретных случайных процессов с непрерывным временем. Поэтому рассмотрим его подробнее.

Найдем математическое ожидание величины , распределенной по показательному закону:

или, интегрируя по частям,

. (19.3.7)

Дисперсия величины равна

,

откуда

, (19.3.8)

. (19.3.9)

Докажем одно замечательное свойство показательного закона. Оно состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка .

Для доказательства рассмотрим случайный промежуток времени с функцией распределения

(19.3.10)

и предположим, что этот промежуток уже продолжается некоторое время , т. е. произошло событие . Найдем при этом предположении условный закон распределения оставшейся части промежутка ; обозначим его

. (19.3.11)

Докажем, что условный закон распределения не зависит от и равен . Для того чтобы вычислить , найдем сначала вероятность произведения двух событий

и .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Но событие равносильно событию , вероятность которого равна

.

С другой стороны,

,

следовательно,

,

откуда, согласно формуле (19.3.10), получим

,

что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что если промежуток времени распределен по показательному закону, то любые сведения о том, сколько времени уже протекал этот промежуток, не влияют на закон распределения оставшегося времени. Можно доказать, что показательный закон - единственный, обладающий таким свойством. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку для «отсутствия последействия», которое является основным свойством простейшего потока.

Вопрос