Методы построения расчетной области

Для определенности будем вести разговор о решении уравнения переноса вида (8.2). В одномерной пространственной постановке уравнение переноса запишется

. (8.10)

Пусть задача о нахождении значений функции , заданной уравнением (8.10), решается в период времени от до и для значений пространственной координаты x, изменяющейся от до (рисунок 8.1). Единственность решения задачи (8.10) будет обеспечиваться при задании значении функции f для произвольного значения пространственной координаты x в начальный момент времени - , и при задании значении функции f для произвольного значения времени t на левой и правой границах расчетной области - и . Значение коэффициента является функцией времени и пространственной координаты - . В частном случае можно принять, что .

Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных основано на сведении этих задач к задачам о решении систем линейных или (и) нелинейных алгебраических уравнений. Для этого функция f, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, заменяется на ее сеточный аналог , значения которого устанавливаются либо в узлах сетки (рисунок 8.1а), либо в центрах ячеек (рисунок 8.1б). Шаги сетки как по времени t,так и по пространственной координате x могут быть постоянными или переменными.

Для сеточной функции текущее время процесса будем записывать в виде и определять его суммой

. (8.11)

Если при построении сетки шаг по времени принимается постоянным - , то соотношение (8.11) примет вид

. (8.12)

Оба варианта формулы для значения времени могут характеризоваться значением целочисленного параметра n, и это будет использоваться в дальнейшем изложении.

Для сеточной функции пространственную координату будем записывать в виде и определять ее суммой

. (8.13)

Если при построении сетки шаг по пространственной координате принимается постоянным - (такие сетки называют регулярными), то соотношение (8.13) примет вид

. (8.14)

Оба варианта формулы для значения пространственной координаты могут характеризоваться значением целочисленного параметра i (будем называть этот параметр целочисленным значением координаты), и это также будет использоваться в дальнейшем изложении.

При решении уравнений, записанных в многомерной постановке, сеточное поле характеризуется тремя координатами. Например, в Декартовой системе координат это , которые определяются соотношениями

,

, (8.15)

.

Если при построении сетки шаги по каждой из пространственных координат постоянные, то соотношения (8.15) переписываются в виде

. (8.16)

В соответствии с (8.15) и (8.16) местоположение конкретного узла расчетной сетки устанавливается координатами или значениями их целочисленных координат i, j, k.

Примеры построения пространственных сеток в двухмерном случае показаны на рисунках 8.2 (Декартова система координат) и 8.3 (цилиндрическая система координат).

В конечно-объемных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных наряду с узлами сетки i, j, k рассматриваются элементарные объемы (ячейки), размещенные между узлами i, j, k и i+ 1, j+ 1, k+ 1(диагональ объема). Для указания координаты центра такого объема будут использоваться целочисленные координаты I, J, K. На рисунках 8.2 и 8.3 выделяются эти объемы, соответственно, в Декартовой и цилиндрической системах координат. Для каждого элементарного объема (ячейки) возникает необходимость расчета его геометрических размеров – длины ребер вдоль каждой пространственной координаты, площади боковых граней, геометрическое значение объема. Для произвольной ортогональной системы координат (рисунок 7.4) эти метрические соотношения записываются в форме (7.8).

В Декартовой системе координат эти соотношения записываются в виде

;

; (8.17)

.

В цилиндрической системе координат геометрические размеры элементарного объема (ячейки) вычисляются по соотношениям

;

; (8.18)

.

В практических задачах геометрия расчетной области может быть самой произвольной. На рисунке 8.4 как пример приводится вариант разбиения расчетной области сверхзвуковой части соплового блока с использованием цилиндрической системы координат.

В рассматриваемом случае не удается построить сетку, в которой все элементарные объемы были бы прямоугольными в поперечном сечении. Возможно реализовать ступенчатое приближение расчетной сетки к внешнему контуру соплового блока (рисунок 8.5а), при этом точность такого приближения тем выше, чем меньше значение шага сетки по поперечной координате. Такой подход не самый удачный, особенно при решении задач сверхзвуковой газодинамики. Это связано с тем, что изменение контура сопла существенно изменяет структуру потока газа внутри расчетной области.

Другой подход, который может быть использован при решении задачи, состоит в применении элементарных объемов непрямоугольной формы в поперечном сечении. Для расчетной области в сверхзвуковом сопле это могут быть объемы с сечениями трапециевидной или треугольной формы (рисунок 8.5б). В самом общем случае типы непрямоугольных ячеек могут быть как ячейки, представленные на рисунке 8.6.

Для расчета геометрических размеров объемов непрямоугольной формы применить формулы вида (8.17), (8.18) нельзя. Кроме того, для этих объемов следует модифицировать вычислительные алгоритмы решения дифференциальных уравнений. Наиболее удобными в применении к задачам газовой динамики с дробными ячейками являются конечно-объемные подходы, рассматриваемые ниже в этой же главе. Применение рассмотренного подхода имеется, например, в [БелоцДавыдов]. В [БогомоловТишки] рассматриваются ячейки, называемые ячейками Дирихле (рисунок 8.7).

В главе 7 (раздел 7.3) рассматриваются вопросы, связанные с преобразованием координат, которые могут быть реализованы для преобразования расчетной области, представленной на рисунках 8.4 и 8.5, к прямоугольному виду. Там же отмечается, что исходные решаемые дифференциальные уравнения должны быть переписаны в соответствии с выполненным преобразованием координат. Как правило, при использовании преобразования координат если упрощается вид расчетной области, то усложняется вид решаемых дифференциальных уравнений. Такое усложнение, вообще говоря, в итоге приводит к снижению точности решения исходной задачи. Тем не менее, преобразование координат, описанное в главе 7, успешно применяется на практике.

Расчетная область для задачи о течении в сверхзвуковом сопле (рисунок 8.4) может быть легко приведена к прямоугольному виду, если известна зависимость R(x), определяющая местоположение внешнего контура сопла. В соответствии с материалом, содержащимся в разделе 7.2.3, применим преобразование координатной системы – вместо исходных координат x, r перейдем к новым координатам

. (8.19)

Записанное преобразование переводит исходную расчетную область к прямоугольной, в которой и . Для преобразования уравнений газовой динамики к новой системе координат необходимо установить значения частных производных . С учетом (8.19) частные производные запишутся

. (8.20)

Если входящие в (8.20) функции записаны в аналитическом виде, то запись уравнений газовой динамики в новой координатной системе не составляет трудностей. Если же функция задана таблично, то значение производной следует устанавливать численным дифференцированием.

Из всех преобразований координат представляют интерес такие, при которых новая координатная сетка, как и исходная, ортогональна. В этом случае удается обеспечить возможность решения исходной задачи с высокой точностью. Методы построения ортогональных сеток рассматриваются, например, в [Флетчер, Андерсон, Хайрул, Тененев]. Из известных методов следует отметить как наиболее эффективные методы, основанные на решении уравнений Лапласа и Пуассона, а также вариационные методы. Отметим, что в [Флетчер] приводятся программные продукты, реализующие алгоритмы построения ортогональных сеток.