Математическая постановка задач фильтрации

ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАЗРАБОТКИ ГАЗОВЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ ПРИ ВОДОНАПОРНОМ РЕЖИМЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ МНОГОФАЗНОЙ СМЕСИ УГЛЕ­ВОДОРОДОВ.

2.1.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.

Прежде чем сформулировать основные дифференциальные уравнения фильтрации, сделаем ряд общих замечаний, которые будут учитываться в настоящей работе.

При нестационарной фильтрации, как газированной нефти, так и газоконденсатной смеси, как правило, сжимаемость углеводородной жидкости вследствие растворенного в ней газа и сжимаемость чистого газа значительно превосходят сжимаемость породы и жидкости, находя­щейся в однофазном состоянии. Поэтому сжимаемостью породы обычно пренебрегают. Однако при рассмотрении задач о движении воды с рас­творенным в ней газом, когда сжимаемости пористой среди и воды всле­дствие влияния окклюдированного газа становятся соизмеримыми, пре­небрегать упругими свойствами породы уже нельзя. В настоящей рабо­те мы будем учитывать как сжимаемость породы, так и сжимаемость жидкой фазы. При этом сжимаемость жидкой фазы происходит как вслед­ствие влияния растворенного в ней газа, так и упругих свойств жидко­сти, подчиняющихся закону Гука.

Будем также считать, что фильтрация происходит к совершенной скважине и подчиняется закону Дарси. Как правило, нефтяные и газо­вые скважины являются несовершенными как по степени, так и по харак­теру вскрытия. При рассмотрении пространственной фильтрации несовер­шенство по степени вскрытия может быть достаточно полно учтено. Известно, что при нестационарной фильтрации вблизи забоя очень бы­стро возникает стационарная зона, в которой дебит практически оста­ется постоянным. Поэтому можно рассматривать задачу о нестационар­ной фильтрации к совершенной скважине с радиусом, на котором несо­вершенство по характеру вскрытия не сказывается, а в зоне стабилизации - стационарный приток к несовершенной скважине. Следует отме­тить, что нарушение закона Дарси происходит, в основном, в этой же зоне. Кроме того, нарушение закона Дарси можно учесть введением не­которого нелинейного коэффициента [2].

При использовании обобщенного закона Дарси для описания фильтрации много­компонентной многофазной смеси вводится понятие фазовой проницаемости. Как показано в ряде исследований [34], фазовая проницаемость, вооб­ще говоря, оказывается не однозначной функцией насыщенности, а за­висит от давления и в случае фазовых переходов от межфазового натя­жения при изменении составов фаз. Однако при медленных изменениях давления и состава фаз в процессе нестационарной фильтрации, возмож­но рассматривать фазовые проницаемости как функции лишь насыщенностей. Вообще говоря, учет влияния межфазного натяжения может быть осуществлен достаточно просто [2, 36, 39]. При использовании однопараметрических зависимостей фазовой проницаемости в случае гази­рованной нефти получаются несколько завышенные значения параметров [34].

В настоящей работе применяются зависимости фазовых проницаемостей только от насыщенности фаз.

2.1.2. ВЫВОД ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФИЛЬТРАЦИИ

МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ.

Рассмотрим в начале нестационарное изотермическое многофазное многокомпонентное течение нескольких взаимопроникающих флюидов в системе поровых каналов. Движение такой системы сопровождается не­прерывным обменом массами компонентов между фазами.

Уравнения неразрывности (баланса масс) для каждого компонента смеси имеют вид [5, 17]

(2.1.1)

где - скорости фильтрации, плотности, насыщенности пор фазой ² ², - массовые концентрации компонента " " в фазе ² ², - пористость пласта в точке, - пористость, зависящая от фазового давления, - плотность источников (стоков) по " " компоненту, - число рассматриваемых фаз, - чис­ло компонентов, - время.

Уравнения неразрывности для компонентов дополняются уравнениями движения, связывающими скорости фильтрации фаз с градиентами давле­ния. Согласно обобщенному закону Дарси связь между скоростями филь­трации и градиентами давления имеет вид (с учетом сил гравитации):

(2.1.2)

где - коэффициент проницаемости в точке пласта; - относительная фазовая проницаемость; - коэффициент динамической вязкости фазы; - давление в фазе; - вектор силы тяжести (гравитации), который будем рассматривать как вектор некоторой массовой силы [32]. Далее предположим, что поле массовых сил имеет потенциал . Тогда

(2.1.2a)

где - глубина залегания точки пласта , отсчитываемая от некоторой условной поверхности (ось глубин направлена вниз).

Обобщенный закон Дарси соответствует предположению, что основ­ное сопротивление течению пропорционально относительным скоростям фильтрации фаз в пористой среде. Условие пропорциональности сил меж­фазового взаимодействия фазовым скоростям соответствует принципу Онзагера для модели взаимопроникающих континиумов [18].

Комбинируя уравнения неразрывности для каждого компонента сме­си с обобщенным законом Дарси для каждой из фаз, получаем систему дифференциальных уравнений, описывающую многофазное изотермическое течение многокомпонентной смеси с учетом фазовых переходов компонен­тов из одной фазы в другую, сжимаемости породы и флюидов и действия гравитационных и капиллярных сил:

(2.1.3)

здесь - пористость в точке пласта, ,

- коэффициент, учитывающий упругоёмкость пласта,

- коэф­фициент пористости при атмосферном давлении .

Система (2.1.3) должна быть дополнена следующими замыкающими соотношениями:

(2.1.4)

В (2.1.4) - капиллярное давление между фазами ² ² и ² ². При этом , где - безразмерная функция Леверетта, - контактный угол смачивания [92, 230]. Переменность компонентного состава фаз при фазовых переходах приводит к изменению межфазового натяжения . Последнее выражение (2.1.4), вообще говоря, соответствует условиям статического равнове­сия при насыщении порового пространства. Однако будем считать, что межфазовый обмен компонентов происходит при относительном движении фаз так же, как и в случае их покоя.

При наличии трех фаз существует по парный контакт трех фаз, а, значит, возникает необходимость в трех зависимостях между капилляр­ным давлением и насыщенностью. Экспериментально установлено, что капиллярное давление между газовой и водяной фазами можно считать равным сумме капиллярных давлений на границе между нефтяной и газо­вой фазами и на границе между нефтяной и водяной фазами. Кроме то­го, капиллярное давление между газовой и нефтяной фазами определяет­ся коэффициентом газонасыщенности, а капиллярное давление между вод­ной и нефтяной фазами - коэффициентом водонасыщенности.

Обычно фазовые проницаемости в случае двухфазной фильтрации получают экспериментально и в дальнейшем аппроксимируют в виде, на­пример, полиномиальных зависимостей от коэффициента насыщенности одной из двух фаз. Совместное движение трех фаз приводит к необхо­димости использовать фазовые проницаемости для газа, нефти и воды в предположении присутствия всех трех фаз. В этом случае эксперимен­тальное установление таких зависимостей затруднительно. В связи с этим воспользуемся подходом к оценке фазовых проницаемостей трехфазного потока, изложенным в работах Стоуна [43] или Роуза [41]. Этот подход дает, по крайней мере, правильную качественную картину изменения поведения относительных фазовых проницаемостей. При этом считается, что относительная фазовая проницаемость для газа зависит только от коэффициента газонасыщенности, относительная фазовая про­ницаемость для воды - только от коэффициента водонасышенности, а относительная фазовая проницаемость для нефти, как от коэффициен­та газонасыщенности, так и от коэффициента водонасыщенности.

При локальном термодинамическом равновесии компонентные соста­вы, а также плотности и вязкости фаз взаимосвязаны условием равен­ства химических потенциалов отдельных компонентов в сосуществующих фазах. Химический потенциал " "- го компонента в фазе ² ² будет зависеть от всего состава фазы и фазового давления. Из-за этого, во­обще говоря, потенциалы должны зависеть, помимо состава фаз, также и от насыщенности в терминах капиллярного давления [18]. В пористой среде взаимодействия с твердыми поверхностями также могут влиять на величины химических потенциалов компонентов в фазах. Однако в первом приближении будем пренебрегать влиянием пористой среды на химические потенциалы.

Для закрытой равновесной термодинамической системы, а при локаль­ном термодинамическом равновесии в точке имеет место именно такая система, справедливо правило фаз Гиббса [18, 4]:

(2.1.5)

где - число степеней свободы /независимых переменных/ системы;

- число компонентов; - число фаз; - число внешних парамет­ров /обычно давление и температура/.

В случае двух компонентов и двух фаз = 2 и, следовательно, фазовые концентрации, плотности и вязкости фаз зависят только от давления и температуры системы. В случае трех компонентов и двух фаз = 3 и фазовые концентрации, плотности и вязкости уже зависят, помимо давления и температуры, от одной концентрации /или от их комбинации/, например,

Число степеней свободы открытой системы /такая рассматри­вается в задачах фильтрации/, равняется числу независимых переменных в уравнениях гидродинамики, а поскольку система уравнений должна быть замкнута, то и числу уравнений [4]:

(2.1.6)

На практике обычно имеется два случая. Первый - течение нефти, из которой при снижении давления происходит выделение в свободное состояние растворенного в ней газа. Второй - течение углеводородной газовой смеси, для которой характерна ретроградная конденсация, т.е. выпадение жидкой фазы при снижении давления.

Практическое применение математических моделей упирается, с од­ной стороны, в трудности экспериментальных измерений для фазовых концентраций, плотностей и вязкостей фаз, с другой стороны, в боль­шое число дифференциальных уравнений при использовании расчетных методов определения фазовых концентраций, плотности и вязкости фаз / так называемые "композиционные модели"/. Поэтому приходится приме­нять простые модели, состоящие из двух или трех гипотетических ком­понентов. При этом возникает проблема сведения сложной многокомпо­нентной углеводородной смеси к бинарной или тройной гипотетической смеси.

2.1.3. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ В СЛУЧАЕ МНОГОФАЗНОЙ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С УЧЕТОМ СИЛ ГРА­ВИТАЦИИ И КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ.

В случае неизотермической фильтрации система (2.1.3) (2.1.4) дополня­ется уравнением сохранения полной энергии [32,33], которое может быть записано в следующем виде [24]:

(2.1.7)

где - пористость в точке пласта, зависящая от давления; - внешнее тепло; - внешняя работа на межфазовых поверхностях; - работа сил давления; - внутренняя энергия фазы; - кинетическая энергия; - потенциальная энергия /остальные обозначения см. выше/. (2.1.8)

Учитывая, что , где - удельная парциальная энтальпия, - удельный парциальный объем, - удельная парциальная внутренняя энергия, из (2.1.7) имеем

или

(2.1.9)

Уравнение неразрывности для " "- го компонента в фазе " " с учетом фазового перехода можно записать в виде:

, (2.1.10)

где - перенос массы компонента " " из одной фазы в другую.

Из (2.1.9) с учетом (2.1.10) имеем:

(2.1.11) Примем согласно [126], что

(2.1.12)

и - твердая фаза, - сила межфазового вза­имодействия, - работа на межфазовых поверхностях в единицу времени.

(2.1.13)

где - коэффициент теплопроводности фазы; - коэффициент теплопроводности породы; - плотность породы; - теплоемкость породы; - температура; - количество тепла, поступающее через кровлю и подошву пласта.

Так как

, (2.1.14) то из (2.1.11), пренебрегая и учитывая (2.1.13),(2.1.14), а также известные термодинамические соотношения:

,

имеем окончательно:

(2.1.15)

Здесь - теплоемкость фазы при постоянном давлении; - коэф­фициент Джоуля-Томпсона; - коэффициент адиабатического расшире­ния фазы /остальные обозначения см. выше/.

Выражения для и получаются из известных термодинамических соотношений /см. например, [177]/.

Так как пористая среда неподвижна, то = 0. Далее, пренебре­гая величиной и учитывая, что , имеем из (2.1.15) с использованием (2.1.3) для случая = 3 и = 3: (2.1.16)

В (2.1.16) учитывается, что нефть и вода взаимонерастворимы и тогда

,

-определяется из уравнения неразрывности (2.1.10), а пористость есть функция среднего давления, равного , и температуры,

, - температурный коэффициент расширения,

- характерная величина температуры, а замыкающие соотношения:

2.2. ДВУХМЕРНАЯ ДВУХФАЗНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СМЕСИ.

При проектировании разработки газовых месторождений в условиях проявления упруговодонапорного режима важным вопросом становится умение прогнозировать продвижение воды в газовую залежь, распреде­ление давления и отборов по скважинам, а также создание способов регулирования разработки такого месторождения. При этом возникает необходимость учета неоднородности пласта по коллекторским свойст­вам, произвольного размещения скважин на площади газоносности, про­извольных границ газовой залежи. Многие из этих факторов могут быть учтены при двумерной постановке фильтрационных задач. Двумерная по­становка применима также при учете неоднородности пласта поперек напластования в случае рассмотрения фильтрационных процессов на профильной модели продуктивного пласта.

Для исследования задач упруговодонапорного режима, вообще гово­ря, применимы две математические модели. Согласно одной из них рас­сматриваются задачи с подвижной границей раздела /типа задачи Сте­фана/. Области газо- и водоносности разделены поверхностью контак­та, на которой выполняются условия непрерывности потока и давления. Решение подобных задач в двумерной постановке связано со значитель­ными математическими трудностями, возникающими из-за сложностей удовлетворения условий на подвижной границе и прослеживания ее кон­фигурации во времени и пространстве /на сеточной области/.

Вторая модель основана на решении двухфазных задач. При такой постановке предполагается, что в каждой точке пласта находятся две фазы: газ и вода. При решении системы дифференциальных уравнений двухфазной фильтрации определяются значения давления и коэффициен­та водонасыщенности /газонасыщенности/. Фазовая проницаемость при этом связана с насыщенностью пор данной фазой. Закономерности дви­жений некоторой "условной" границы газ - вода устанавливаются по динамике полей водонасыщенности пласта. Такой подход не встречает принципиальных трудностей при решении задач теории водонапорного режима. Двухфазная постановка задач фильтрации в наибольшей степе­ни пригодна и для исследования эффективности методов активного воз­действия на водонапорный режим, вторичной добычи газа.

Основы теории двухфазной фильтрации углеводородных смесей из­лагаются во многих монографиях /см. например [13, 16, 18, 19, 24]/.

2.2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ.

В настоящей главе применим для решения задачи о продвижении во­ды в газовую залежь математическую модель двухфазной фильтрации углеводородных смесей, причем будем учитывать такие факторы как гравитационные и капиллярные силы, растворимость газовой фазы в жидкой и, наоборот, фазовые проницаемости, сжимаемость породы и флюидов. Разработка алгоритма решения поставленной задачи в рамках двухфазной модели обладает тем преимуществом, что этот алгоритм мо­жет быть применен также при расчетах фильтрации бинарных углеводо­родных смесей.

Итак, рассматривается течение двухфазной многокомпонентной уг­леводородной смеси в пласте, которое описывается системой уравнений (2.1.3, 2.1.4). При этом = 2 и = 2 и индекс "1" относится к газу, а индекс "2" к жидкости. С учетом безразмерных соотношений:

(2.2.1)

где характерные значения давления, проницаемости, плотности, вязкости, линейного размера, толщины и глубины за­легания пласта, соответственно, индекс " р " - означает размерную величину /остальные обозначения см. выше/. В двумерном случае из (2.1.3) с учетом переменной толщины пласта имеем:

(2.2.2)

где

- давление в газовой фазе; - капиллярное давление; - зависимость пористости от давления в области, занятой газом; зависимость пористости от давления в области, занятой жидкостью; - насыщенность жидкостью порового пространства;

;

.

При соответствующих граничных условиях решение системы (2.2.2) по­зволяет получить распределение давления и насыщенности в пласте про­извольной формы и толщины с произвольным размещением источников и стоков /скважин/ при учете сжимаемости флюидов и породы, гравитаци­онных и капиллярных сил.

Система (2.2.2) в силу ее нелинейности может быть решена только численными методами. В настоящей работе будем применять метод непол­ной разностной факторизации / SIP- метод/ [14, 29, 42].

Разностные уравнения, аппроксимирующие систему (2.2.2) в матричном виде, выразим так:

(2.2.3)

Пусть далее

(2.2.3а)

и (2.2.3б)

где m - номер итерации.

Тогда из (2.2.3а) с учетом (2.2.3б) имеем следующее итерационное выражение:

(2.2.3в)

где (2.2.3г)

- матрица коэффициентов разностных уравнений;

- вспомогательная матрица, определяемая в [42] и позволяющая легко факторизовать систему (2.2.3в);

- искомая функция /вектор/;

- вектор, подобный вектору и выражающий правые части раз­ностных уравнений;

Модифицированная матрица должна по условию удовлет­ворять следующему соотношению

(а)

где и нижняя и верхняя треугольные матрицы, соответственно.

Тогда из (2.2.3в) и (а) следует

(б)

и далее, если , (в)

то из (б) следует (г)

Решение системы (2.2.3в) можно получить теперь следующим образом. Так как и - треугольные матрицы, то сначала из (г) опреде­ляется вектор

, (д)

а затем из (в) определяем вектор приращения искомых давле­ний на (m+1) итерации

(е)

Элемент матрицы в (2.2.3в) для некоторой точки (i, j)пространст­венной решетки имеет вид:

(2.2.4а)

+

В (2.2.4a) две последние строки выражают вспомогательную матрицу ,

и т.д. матрицы 2-го порядка,

, - диагональная матрица итерационных параметров, - матрицы 2-го порядка, определяемые ниже.

Выражение (2.2.4а) имеет место при решении разностных уравнений с последовательностью изменения индексов в следующем порядке: i=1,2,…M; j=1,2,…N

При порядке просчета с изменением индексов i = I,2,..,M; j= N, N-1,… 2,1 вспомогательная матрица в (2.2.4а) должна быть представлена так:

(2.2.4б)

Мнемоническая схема для решения системы /2.2.3в/ при возрастании индексов имеет вид, представленный на рис.2.1 /черные и светлые кружочки/, при изменении индекса j- в обратном порядке /черные кружочки и крестики/.

Следуя работе [273], имеем при возрастании индексов следующие рекуррентные выражения для коэффициентов прогонки:

(2.2.5)

Вектор при этом определяется /прямая прогонка/ по формуле/2.2.6а/

(2.2.6а)

(i=1,2,..., М; j= 1,2,…, N)

(2.2.3в)

2.1

Значения получаются /обратная прогонка/ по рекуррентной формуле

(2.2.6б)

При расчете с изменением индексов следующим образом: i = I,2...M; j= N, N-1,...2,1 выражения для коэффициентов имеют вид:

(2.2.7)

Вектор в этом случае определяется по формуле

(2.2.8а)

(I =1,2, М; j= N, N-1, 2,1)

Значения получаются по формуле

(2.2.8б)

Пусть далее выражение в квадратных скобках при вычислении в (2.2.5) и (2.2.7) имеет вид

,

тогда (2.2.9)

Отсюда следует, что элементы матриц и , которые

являются строго нижней и верхней треугольными матрицами, равны

(2.2.10а)

и (2.2.10б)

Для улучшения сходимости итерационного процесса при решении разностных уравнений рекомендуется менять порядок расчета от итера­ции к итерации, а именно, нечетная итерация имеет порядок просчета с изменением индексов i= 1,2,... М; j= 1,2,... N, четная итерация- i=1,2,... М; j = N, N-1,...2, 1 [45]. Затем поря­док просчета, повторяется.

Элементы матриц и т.д. в /2.2.4а/ имеют вид:

(2.2.11)

Правая часть уравнения (2.2.3) для некоторой точки (i, j) разност­ной сетки - вектор вида

и далее,

(2.2.12)

(k=1, 2)

Выражение для некоторой точки (i, j)вектор вида

(2.2.13)

В (2.2.11), (2.2.12), (2.2.13) - давление на предыдущем времен­ном слое, - шаги по пространственной и временной разностным сеткам.

Для улучшения сходимости итерационного процесса применяется матрица итерационных параметров

При этом величины могут быть получены следующим образом [42]. Из анализа устойчивости разностных уравнений, полученных при рассмотрении линеаризованных дифференциальных уравнений, следу­ет

где - число точек по оси X, - число точек по оси Y,

Далее принимаем, что итерационный параметр для лучшей сходимо­сти итерационного процесса изменяется от итерации к итерации [42, 45]

(2.2.14)

Затем цикл изменения , повторяется. Таким образом, итерационный параметр изменяется от до 0 согласно (2.2.14). Следует отметить, что последовательность итерационных параметров может быть как убывающей, так и возрастающей.

Для улучшения сходимости итерационного процесса можно применить еще и итерационный параметр в формуле (2.2.3г) [42], т.е.

(2.2.3^’г)

/При этом в первом приближении можно брать значения /.

2.2.2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗРАБОТКЕ ГАЗОВОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ С УЧЕТОМ ПРО- ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ.

По выше изложенному алгоритму была составлена программа на язы­ке FORTRAN для ЭВМ и просчитаны варианты разработки различных месторождений для обоснования концепции активного воздействия на водонапорный режим [3], [6] и применения результатов в конкрет­ных проектах до разработки ряда месторождений [11], о чем будет ска­зано ниже. Здесь же в качестве примера рассмотрим результаты реше­ния следующей задачи [29].

Рассмотрим квадратный горизонтальный пласт размером 1000* 1000 м. При этом пласт по толщине и проницаемости принимается однородным. Весь пласт покрывается равномерной разностной сеткой 11x11 точек. В верхнем левом углу /точка 1,1/ помещается источник, через который в пласт поступает жидкая фаза, в правом нижнем углу /точка 11,11/ -сток, через который отбирается газ. Границы прямоугольника прини­маются непроницаемыми.

В расчетах было принято: = 25,0 МПа; = 2500м; = 10 м; = 0,1*10^-12м²; = 0,5 мПа*с; = 0,2; = 500 кг/м³.

Считалось, что относительная проницаемость газа при насы­щенности жидкой фазы =0,9 становится равной нулю, при насыщен­ности = 0,3 = 1; относительная фазовая проницаемость жидкой фазы равняется нулю при = 0,5 и = 1 при = I.

В пласте принималась начальная водонасыщенность, равная = 0,305. В узле сетки, где находился источник воды, и соседними с ним узлами насыщенность задавалась = 0,9.

Безразмерный отбор газа был принят = 0,17, что соответствова­ло размерному отбору, равному примерно 505 тыс. м^-3/сут. Безразмерный приток жидкости = 0,17, что соответствовало размерному притоку, равному около 400 м³/сут. в условиях данного примера. Начальное давление газовой фазы во всем пласте принималось равным = 1, а капиллярное давление = 0,0152 /все величины безразмерные/.

Расчет осуществлялся с переменным шагом во времени, начи­ная с весьма малой величины = 1*10^-8. При достижении величины =1,66*10^-2/в размерных величинах 7,67 сут./ увеличение шага прекращалось и, в дальнейшем, расчет проводился с постоянным шагом. Ограничение увеличения шага по времени было связано с возникновени­ем неустойчивости численного решения, которое выражалось в прекра­щении сходимости итерационного процесса.

Причины плохой сходимости итерационного процесса могут заклю­чаться, прежде всего, в том, что набор исходных данных в данном приме­ре получается таким, что переменные коэффициенты дифференциальных уравнений приводят к возникновению неустойчивости численного решения. Другой причиной может служить неоптимальная величина итерационного параметра и его изменяющейся последовательности.

Первая причина была исследована на примере решения задачи о нестационарной фильтрации газированной жидкости в кандидат­ской диссертации Сомова Б.Е. "Нестационарная фильтрация углеводородных смесей с учетом фазовых переходов" [28].

Исследование второй причины показало, что в условиях данного примера последовательность изменения итерационного параметра ока­зывает некоторое влияние на сходимость итерационного процесса, но не в такой большой степени, как это могло показаться вначале.

В рассматриваемом примере было отобрано до 71 % от первоначаль­ных запасов газа. /Расчет занял 80 шагов по времени/. Контроль правильности расчета осуществлялся по сравнению балансов газа, вычисляемых как разница средневзвешенных масс газа по пласту в начальный и текущий момент времени, с одной стороны, и количества газа, добытого через скважину /сток/, с другой. Относительная ошибка не превышала величины 0,04, или 4%.

На рис.2.2 представлены зависимости среднего пластового давле­ния , давления нагнетания жидкости и давления на эксплутационной скважине в зависимости от количества отобранного газа в % от начальных запасов. Здесь же приведена зависимость = (от начальных запасов).

Как показывает рассмотрение изменения кривой , водона­порный режим проявляется в данном примере слабо. То, что интенсив­ность подтока воды в пласт в данном случае незначительна, хорошо видно также из рассмотрения поведения давления нагнетания , ко­торое возрастает только в самом начале, когда влияние отбора еще не распространилось на весь пласт. Когда же воронка депрессии до­стигает зоны нагнетания, то начинает уменьшаться вместе с умень­шением и , хотя это уменьшение происходит несколько медлен­нее.

Среднее давление и давление на эксплуатационной скважине изменяются почти синхронно. Лишь в самом конце разработки мож­но заметить несколько более быстрое уменьшение .

На рис.2.3 приводятся профили распределения вдоль границ пласта величин давления и насыщенности для различных моментов време­ни, выраженных в % отбора от начальных запасов. По мере разработки залежи давление в ней интенсивно падает, при­чем профиль давления

практически горизонтален. Некоторое искривле­ние кривой можно отметить лишь в зоне источника и совсем небольшое в зоне стока - месте отбора газа.

Рис.2.2 Изменение среднего пластового давления , давления нагнетания и давления на эксплуатационной скважине в зависимости от отобранного газа, в % от запасов.

Рис. 2.3 Профиля распределения вдоль границ пласта давления и насыщенности на различные моменты времени, выраженные в % отбора от начальных запасов.

Профиль насыщенностиимеет характерный скачок, который соответ­ствует границе между жидкой и газовой фазами. Следует отметить, что эта граница достаточно резкая, а не размытая за счет действия ка­пиллярных эффектов, как можно было бы предполагать.

Граница раздела газ-вода продвигается со временем от источни­ка вглубь пласта и к моменту отбора 71% от запасов газа проходит по границе пласта около 0,4 его длины. Это означает, что около 8 –10 % газоносного пласта к этому времени будут залиты водой, то есть восполнение давления за счет внедрения воды невелико.

Следует отметить, что введение в расчет дополнительного итера­ционного параметра /см. раздел 2.2.1/, по-видимому, может несколь­ко улучшить сходимость итерации. Во всяком случае, такие данные бы­ли нами получены при расчете различных вариантов.

2.2.3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ СОВМЕСТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА И ЖИДКОСТИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОИСТОМ ПЛАСТЕ.

2.2.3.1. Фильтрация газа и жидкости в реальном месторождении носит пространственный /трехмерный/ характер. Однако из-за сложно­сти решения таких задач, а также ограниченности информации о пара­метрах пласта по вертикали исследовались, как правило, плоские одномерные и двумерные, виды фильтрации. В таких задачах обычно не удается учесть изменчивость как фильтрационных, так и емкостных характеристик пласта по толщине пласта, а также гравитационные эф­фекты, имеющие место при совместном течении газа и жидкости.

В то же время изучение характера распределения давления и на­сыщенности по толщине пласта /по вертикали/ в зависимости от тех или иных параметров пласта и флюидов представляет несомненный ин­терес и может позволить получить некоторые обобщения и выводы.

В настоящем разделе рассмотрены задачи нестационарной фильтра­ции газа и жидкости в полосообразном вертикальном пласте [30].

Для решения этих задач был использован метод и алгоритм решения задачи многофазной нестационарной фильтрации, изложенный в [29], который был модифицирован применительно к данному случаю. Естест­венно, что все возможности этого метода, а именно, учет сжимаемо­сти пород и флюидов, взаиморастворимость флюидов, капиллярные и гравитационные эффекты учитывались в данных задачах.

Зависимости плотности, коэффициентов динамической вязкости, растворимости газа и воды от давления, а также величин фазовой про­ницаемости от насыщенности и последней от капиллярного давления и т.п. были аналогичны рассмотренным в 2.2.2.

2.2.3.2. Рассматривался пласт /рис.2.4/ длиной = 1000м, тол­щиной = 125м. Верхняя точка пласта находилась на глубине = 2500 м от поверхности земли. Пласт наклонен по отношению к горизонтальной плоскости на угол = 2°. Пласт аппроксимировался пространственной разностной сеткой с числом узлов по оси X М = 24, по оси Y N= 3. В ячейке /1,1/ помещался сток, имитирующий газо­вую скважину. Ячейка /M= 24, N = 3 / считалась полностью обвод­ненной /водяная, часть пласта/.

Глубина каждой ячейки разностной сетки рассчитывалась по формуле:

(2.2.15)

Принималось, что давление в ячейке /М = 24, N = 3 / в жидкойфазе =1 /все величины здесь и в дальнейшем безразмерные/, а насыщенность в этой ячейке =0,901, что соответствует капиллярному давлению = 0,001175. Тогда давление в газовой фазе в этой ячейке будет равняться

= 1.001175 (2.2.16)

Распределение капиллярного давления и давления в газовой фазе по пласту в начальный момент времени рассчитывалось в соответствии с капиллярно-гравитационным равновесием.

Рис.2.4. Схема модели пласта.

Давление в газовой фазе определяется по формуле

(2.2.17)

Капиллярное давление в каждой ячейке рассчитывалось из условия,

что и с учетом, что

а - определяется из (2.2.17), имеем окончательно для

(2.2.18)

При этом капиллярное давление вычислялось по (2.2.18), если оно было меньше = 0,0152. В противном случае оно принималось рав­ным . Такая величина капиллярного давления соответствовала значению насыщенности = 0,305, которая принималась как остаточ­ная насыщенность водой в газовой части пласта.

2.2.3.3. Первоначально рассматривался случай фильтрации газа в однородном по коллекторским свойствам пласте.

Эксплуатационная скважина работала с постоянным темпом отбора = 0,17. Вода могла поступать в пласт через ячейку / М= 24, N = 3 /, причем интенсивность поступления воды определялась по формуле:

(2.2.19)

где ; ; ; (нач.)

/Все обозначения см. в разделе 2.2.1/.

Следует отметить, что вода начинала поступать в пласт лишь при условии, что (нач.)

Результаты расчетов этой задачи представлены в виде графиков /рис.2.5 - 2.7/. Рассмотрение рис.2.5 показывает, что давление на эксплуатационной скважине /ячейка /1,1// снижается во времени /в % от запасов/ сначала /до 5% от запасов/ быстрее уменьшения среднего давления по пласту, затем темп падения этих давлений / до 60% от запасов/ одинаков, а затем начинает уменьшаться быстрее и к отбору 80% от запасов падает до нуля. К этому моменту времени среднее пластовое давление 0,28.

Давление в точке / М= 24, М = 3/, месте поступления воды в пласт, сначала уменьшается и становится равным 0,8 при отбо­ре около 55% газа от запасов, а затем начинает даже несколько уве­личиваться, достигая к концу разработки величины 0,84.

При рассмотрении распределения давления и насыщенности по пла­сту во времени будем рассматривать изменение величин еще и по тол­щине пласта. Для этого введем в рассмотрение три пропластка по вер­тикали /в соответствии с числом ячеек (точек) по оси Y/. При этом верхний пропласток пусть будет иметь номер 1, средний - 2, нижний-3. В данной задаче коллекторские свойства всех пропластков принимались одинаковыми.

Рассмотрение рис.2.6 показывает, что снижение давления по пропласткам модели происходит достаточно равномерно /в том смысле, что меньшее давление соответствует верхнему, большее - нижнему пропластку/.

Возрастание давления на контуре модели связано с интенсивным притоком воды в залежь. При этом резкий излом профиля давления при отборе газа более 60% от запасов соответствует практически границе раздела газ- вода, что легко устанавливается из сопоставления рис.2.6 и рис.2.7.

К концу разработки давление на контуре несколько возрастает не только в нижнем, но также и в среднем и верхнем пропластках.

Рис.2.5. Изменение величины давления в зависимости от добы­того количества газа.

1-давление на эксплуатационной скважине ; 2- среднее пластовое давление ; 3- давление на контуре питания .

Рассмотрение распределения профилей насыщенности показывает, что интенсивное продвижение воды в газовую залежь начинается пос­ле отбора более 30% от запасов газа. Этот момент соответствует отклонению зависимости ()от прямой линии /рис.2.5/.

При отборе 40% газа от запасов в верхнем пропластке на внешней границе увеличивается от 0,304 до 0,535, в среднем - от 0,319 до 0,9, в нижнем пропластке вода заняла около 8%объема пропластка /ячейка считалась заполненная водой, если насыщенность 0,8/.

При отборе 50% насыщенность в верхнем пропластке возрастает до 0,83, в среднем вода занимает около 12,5%, а в нижнем - около 16,7% от объема пропластка.

При отборе 60% 1-ый пропласток обводнился на 10%, II-ой - на 16%,Ш-ий- на 20%.

При отборе 80% газа от запасов 1-ый пропласток обводнился на 23%, II-ой - на 25%, Ш-ий - 27%.

Граница раздела газ-вода в верхнем и среднем пропластках до­статочно резкая /переходная зона за счет капиллярных сил занимает одну ячейку/. В нижнем пропластке эта граница более размытая, она занимает примерно три ячейки.

Как и следовало ожидать, вода в однородном по колекторским свой­ствам пласте вначале наиболее интенсивно продвигается по подошве пласта, хотя к концу разработки с некоторой долей допущения можно принять границу раздела газ-вода во всем пласте близкой к верти­кальной. Это говорит о том, что интенсивность продвижения воды по пропласткам примерно одинакова.

2.2.3.4. В следующей серии расчетов рассматривалось нестационарная фильтрация газа и воды в неоднородном пласте. Было принято несколь­ко моделей:

а/ трехслойный пласт, у которого верхний пропласток имел величину емкостного параметра = 0,01 от емкостного параметра среднего пропластка, a нижнего пропластка 0,05 от среднего пропластка, параметры проводимости всех пропластков были одинаковы;

б/ трехслойный пласт, у которого проводимость второго пропластка в 100 раз меньше проводимости первого и третьего пропластков, а ем­костной параметр в 10 раз больше;

в/ трехслойный пласт, у которого проводимость принималась как в случае б/, а емкостной параметр среднего пропластка был в 100 раз больше, чем верхнего и нижнего пропластков.

Отбор газа производился из ячейки /1,1/, моделирующей эксплуа­тационную скважину, вода могла поступать в пласт в случае а/ через нижнюю ячейку / M = 24, N = 3/, а в случаях б/ и в/ - через три ячейки на контуре пласта, т.е. ячейки / М = 24, N=1; М=24, N = 2; М = 24, N = 3/.

Темп отбора газа = 0,17, интенсивность поступления воды, а также начальные условия определялись как в случае однородного пла­ста по формулам /2.2.15 – 2.2.19/.

Отметим, что при таком выборе коллекторских параметров пропласт­ков основные запасы газа сосредоточены в среднем пропластке. Вообще говоря, такая модель, особенно в случаях б/ и в/, напоминает трещи­новато-пористую среду, когда основные запасы газа сосредоточены в плотных массивных пропластках /блоках/, а основная фильтрация про­исходит по тонким хорошо проницаемым пропласткам /трещинам/. Однако в отличие от общепринятой гипотезы, когда фильтрация рассматривает­ся лишь в трещинах, здесь мы рассматриваем фильтрацию и в блоках. При этом в нашем случае местоположение плотных и проницаемых про­пластков четко определено, в то время как в традиционной постановке рассматриваются как бы вложенные друг в друга пористые среды.

Подобная постановка задачи и выводы из результатов решения мо­гут оказаться полезными для разработки месторождений, где имеет ме­сто наличие хорошо проницаемых тонких пластов и массивных плотных, например, Оренбургское газоконденсатное месторождение.

Распределение давления