Метод отделения корней

дано уравнение ƒ(x) = 0, где ƒ(x) – непрерывная функция. Поиск корней уравнения сводится к поиску точек пересечения функции ƒ(x) с осью абсцисс. Все рассматриваемые ниже методы подразумевают, что уже найден отрезок [a,b], в котором существует один корень урав-

нения. В зависимости от вида функции таких отрезков может быть несколько, а для периодических функций – бесконечное множество. Метод отделения корней осуществляет поиск таких отрезков.

Наиболее наглядным является графический способ отделения корней. Для реализации этого метода необходимо построить график функции. Это будет легко сделать, если составить программу, которая будет выдавать таблицу значений функции при меняющемся с некоторым шагом h аргументе x (см. рис. 4.1). Если есть такая таблица значений функции, то график функции можно и не строить. Достаточно найти две строчки, где значение функции меняет знак на противоположный. Такой способ называется табличным методом отделения корней (см. пример 1).

Файл-сценарий 2.1.

% (графический способ отделения корня уравнения (8))

% file_2_1

1; x=0:0.1:1; % массив значений аргумента x

2; y=x.^2; z=exp(-3*x); % вычисление значений функций

3; plot(x,y,x,z) % построение графиков

4; grid on % нанесение координатной сетки

Пересечение графиков даст ответ.

15.Решить в пакете MATLAB уравнение с заданной точностью на заданном отрезке с использованием функции fzero.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корень уравненияf(x) = 0.

Будем предполагать, что имеется интервал изменения х [a; b], на котором необходимо исследовать функцию f(x) и найти значение х0, при котором f(x0) равно или весьма мало отличается от нуля.

Данная задача в системе MATLAB может быть решена следующим образом. Вначале необходимо построить график функции f(x) на заданном интервале и убедиться в существовании корня или нескольких корней. Затем применить программы поиска корней. Если существует один корень и график f(x) пересекает ось ох, то можно применить программу fzero. Программа fzero использует известные численные методы: деление отрезка пополам, секущей и обратной квадратичной интерполяции.

Пример. Найти корень нелинейного уравнения 10х + 2х – 100 = 0 на отрезке [1.5; 2.5].

Появляется окно с графиком функции 10х + 2х – 100, из которого следует, что корень функции на заданном интервале существует. Для точного определения корня применяем функцию fzero.

Естественно, для работы данной программы нам понадобится m-функция:

Результат: X = 1.9824

В более общем случае функция fzero() имеет следующие реализации:

fzero('f(х)', х)

fzero('f (х)', [xl, х2])

Здесь приняты следующие обозначения:

'f(х)' — решаемое уравнение, взятое в одиночные кавычки;

х — начальное приближение (значение) искомого корня;

[x1, х2]—область изоляции корня.

Например, для решения данной задачи мы могли бы написать

X = fzero ('10.^x + 2.*x - 100.0', 2)

Очевидно, что в данном случае файл-функция не требуется.