Преобразование Добеши

Для нашего усовершенствованного преобразования уже будет мало двух точек. Поэтому будем брать по четыре значения, смещаясь каждый раз на два.

То есть, если исходная последовательность — 1, 2, 3, 4, 5, 6,…, N-1, N, то будем брать четвёрки (1, 2, 3, 4), (3, 4, 5, 6) и т. д. Последняя четвёрка «кусает последовательность за хвост»: (N-1, N, 1, 2).

Точно так же попробуем построить два фильтра: высокочастотный и низкочастотный. Каждую четвёрку будем заменять на два числа. Так как четвёрки перекрываются, то количество значений после преобразования не изменится.

Для того, чтобы было удобно считать обратную матрицу потребуем также ортогональности преобразования. Тогда поиск обратной матрицы сведётся к транспонированию

Пусть значения яркостей в четвёрке равны x, y, z, t. Тогда первый фильтр запишем в виде

Четыре коэффициента, образующих вектор-строку матрицы преобразования, пока нам неизвестны.

Чтобы вектор-строка коэффициентов второго фильтра был ортогонален первому, возьмём те же коэффициенты но переставим их и поменяем знаки:

Матрица преобразования будет иметь вид.

Требование ортогональности выполняется для первой и второй строк автоматически. Потребуем, чтобы строки 1 и 3 тоже были ортогональны:

Векторы должны иметь единичную длину (иначе определитель будет не единичным):

Преобразование должно обнулять цепочку одинаковых значений (например, (1, 1, 1, 1)):

Преобразование должно обнулять цепочку линейно растущих значений (например, (1, 2, 3, 4)):

Получили 4 уравнения, связывающие коэффициенты. Решая их, получаем:

Подставив их в матрицу, получаем искомое преобразования. После его применения к фотографиям получим больше нулей и малых коэффициентов, что позволит сжать изображение сильнее.

Другая приятная особенность — артефакты после квантования будут не так заметны.

Это преобразование получило название вейвлета D4 (читателю предлагается самостоятельно разгадать тайну этого буквенно-цифрового названия).