Делимость многочленов, свойства делимости многочленов, метод неопределенных коэффициентов

Если = × , то говорят, что многочлен делится (делится без остатка) на каждый из многочленов и .

Свойства делимости многочленов.

1. Если многочлен делится на многочлен , а многочлен делится на многочлен , то и многочлен делится на многочлен .

Действительно, если делится на многочлен , то = × , если делится на многочлен , то = × . Откуда следует, что = × × . Т.к. × является многочленом, то обозначив = × , получаем = × . Т.е. делится
на .

2. Если каждый из многочленов и делится на многочлен , то и многочлены ± делятся на многочлен .
Действительно, если делится на , то = × , если делится на , то = × . Откуда, ± = × ± × =( ± )× = × , где = ± .

Теорема о делимости многочленов.

Для любых многочленов и , где , существует единственная пара многочленов и таких, что выполняется равенство , причём либо степень многочлена меньше степени многочлена , либо .

Метод неопределённых коэффициентов:

Суть метода неопределённых коэффициентов сводится к следующему:

Если даны многочлены и , причём то по основной теореме арифметики существуют единственные и , причём , а такие, что = × + .

Выполнив умножение и вычитание многочленов в правой части, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной, учитывая, что и , получим систему, состоящую из уравнения с не более чем с неизвестным ( т.е. ).

Решив эту систему, найдём коэффициенты многочленов и .

Пример: , . Найти и такие, что .
Заметим, что степень меньше степени , т.е не выше первой, а степень равна 4-2=2.
Т.е. мы можем записать, что , где , а .

.

Раскрывая скобки в правой части и приводя подобные слагаемые, получаем:

. Используя определение равенства многочленов, получаем систему:

, откуда находим: ; ; ; и .

Следовательно, и .