Высших порядков

Уравнение вида , где - искомая функция, называется дифференциальным уравнением -го порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно называется интегралом уравнения.

Уравнение вида , называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Эту форму записи ДУ -го порядка называют нормальной.

Условия , ,…, , где , , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Общим решением ДУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям , ,…, . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ -го порядка называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных . Частное решение, заданное в неявном виде , называется частным интегралом уравнения.

Если для искомого частного решения уравнения заданы начальные условия , ,…, и известно общее решение уравнения, то значения произвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений .

Уравнение вида называется простейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде

.

Уравнение вида , , не содержащее явно искомой функции , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция, приводится к уравнению порядка .

Уравнение вида , не содержащее явно независимой переменной , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция от новой независимой переменной , приводится к уравнению порядка на единицу ниже. При этом преобразуются так: , ,…..

В задачах 9.131-9.150 найти общие решения дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка:

9.131. 9.132. 9.133.

9.134. 9.135. 9.136.

9.137. 9.138.

9.139. 9.140.

9.141. 9.142.

9.143. 9.144.

9.145. 9.146.

9.147. 9.148.

9.149. 9.150.

В задачах 9.151-9.160 найти частные решения следующих уравнений при указанных начальных условиях:

9.151,,.

9.152,,,.

9.153,,.

9.154,,.

9.155,,.

9.156,,.

9.157,,.

9.158,,.

9.159,,.

9.160,,.

Функции , ,…, называются линейно зависимыми на , если существуют постоянные , ,…, , не все равные нулю, такие, что для всех . Если равенство выполняется для всех только при условии , то данные функции называются линейно независимыми на .

Определитель называется определителем Вронского (вронскианом).

Если функции , ,…, линейно зависимы на , то определитель Вронского для всех (необходимое условие линейной зависимости).

Если хотя бы в одной точке , то функции , ,…, линейно независимы на (достаточное условие линейной независимости).

В задачах 9.161-9.170 исследовать, являются ли данные функции линейно независимыми (в каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены).

9.161,. 9.162,.

9.163,. 9.164,,.

9.165. 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.

Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением ( ЛДУ ) -го порядка, где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если , то уравнение называется однородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид .

Любая система из линейно независимых частных решений , ,…, однородного линейного уравнения называется фундаментальной системой его решений.

Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения .

А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение дифференциального уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , ,…, ; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , ; 4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности , то ей в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , , , , , .

В задачах 9.171-9.184 найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

9.171. 9.172.

9.173. 9.174.

9.175. 9.176.

9.177. 9.178.

9.179. 9.180.

9.181. 9.182. 9.183. 9.184.

В задачах 9.185-9.188 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.185,,.

9.186,,.

9.187,,.

9.188,,.

Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частью равно сумме частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями (принцип наложения решений).

Частное решение уравнения с любой правой частью может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде , где неизвестные функции , определяются из системы уравнений .

В задачах 9.189-9.202 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами написать общие решения уравнений (числовых значений коэффициентов в частных решениях не находить):

9.189 , если:

а) ; б) ;

В); г).

9.190 , если:

а) ; б) ;

В); г).

9.191.

9.192. 9.193.

9.194.

9.195.

9.196. 9.197.

9.198.

9.199.

9.200.

9.201. 9.202.

В задачах 9.203-9.212 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами найти их общие решения:

9.203. 9.204.

9.205. 9.206.

9.207. 9.208.

9.209. 9.210.

9.211. 9.212.

В задачах 9.213-9.218 найти частные решения уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:

9.213,,.

9.214,.

9.215,,.

9.216,,.

9.217,,.

9.218,,.

В задачах 9.219-9.228 найти общие решения неоднородных уравнений методом вариации произвольных постоянных:

9.219. 9.220.

9.221. 9.222.

9.223. 9.224.

9.225. 9.226.

9.227. 9.228.

В задачах 9.229-9.244 найти общие решения следующих дифференциальных уравнений -ого порядка:

9.229. 9.230.

9.231. 9.232.

9.233. 9.234.

9.235. 9.236.

9.237. 9.238.

9.239. 9.240.

9.241. 9.242.

9.243. 9.244.